Mapa mental: Números racionales y su representación decimal

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Mapa mental: Números racionales y su representación decimal · Formatom

Números racionales y su representación decimal

Contenido del mapa

Racionales y decimales — Todo racional a/b tiene un decimal exacto o periódico.
- Definición de racional — Cociente de dos enteros con denominador no nulo.
  - Forma a/b — Q = {a/b / a en Z, b en Z, b ≠ 0}.
  - Entero es racional — Todo entero n = n/1, por eso Z está en Q.
- De fracción a decimal — Se divide a ÷ b para obtener la forma decimal.
  - Decimal exacto — Termina con cifras finitas. Ej: 3/4 = 0,75.
  - Decimal periódico — Se repite sin fin. Ej: 1/3 = 0,widehat{3}.
  - Notación del período — El sombrerito indica el bloque que se repite.
- Tipos de decimal racional — Todo racional es exacto, puro o mixto.
  - Exacto — Finitas cifras. Ej: 7/8 = 0,875.
  - Periódico puro — Período justo tras la coma. Ej: 5/11 = 0,widehat{45}.
  - Periódico mixto — Tiene anteperíodo antes del período. Ej: 7/12 = 0,58widehat{3}.
- El denominador decide — Con fracción irreductible, factores de b definen el tipo.
  - Exacto: solo 2 y 5 — Si b = 2^m·5^n. Ej: 3/20 = 0,15.
  - Puro: sin 2 ni 5 — Solo otros primos. Ej: 2/9 = 0,widehat{2}.
  - Mixto: 2 o 5 y otros — Mezcla de factores. Ej: 5/14 = 0,3widehat{571428}.
- Fracción generatriz — Devuelve el decimal a su forma a/b.
  - Exacto: sobre 10^k — Sin coma sobre 1 con ceros. Ej: 0,375 = 375/1000 = 3/8.
  - Puro: sobre 9...9 — Período sobre tantos 9 como cifras. Ej: 0,widehat{27} = 27/99.
  - Mixto: 9 seguidos de 0 — (Anteperíodo+período menos anteperíodo) sobre 9 y 0. Ej: 0,2widehat{3} = 21/90.
  - Caso límite 0,widehat{9}=1 — El periódico 9 equivale al entero siguiente.

Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos enteros a/b con b distinto de cero. Al dividir el numerador entre el denominador se obtiene su representación decimal, que es la forma en que usamos estos números en la vida cotidiana y en los cálculos. Todo número entero es también racional, pues puede escribirse como n/1, por lo que los racionales amplían a los enteros.

Al hacer la división solo pueden ocurrir dos resultados: que el decimal termine con un número finito de cifras o que se repita indefinidamente en forma regular. Esto da lugar a tres tipos de decimales racionales: exactos, periódicos puros y periódicos mixtos. La clave es que un decimal es racional si y solo si es exacto o periódico; los decimales infinitos no periódicos como pi son irracionales.

El tipo de decimal está determinado por los factores primos del denominador de la fracción irreductible, y el proceso inverso permite volver de cualquier decimal exacto o periódico a su fracción generatriz mediante reglas con potencias de 10, nueves y ceros.