Un sistema de ecuaciones lineales con dos variables es un conjunto de dos ecuaciones de primer grado con las mismas incógnitas x e y, que deben satisfacerse simultáneamente. Su forma general es a1x + b1y = c1 y a2x + b2y = c2, donde los coeficientes son números reales. Una solución es un par ordenado (x0, y0) que verifica ambas ecuaciones a la vez, y resolver el sistema significa hallar todas sus soluciones.

Geométricamente, cada ecuación representa una recta en el plano cartesiano, por lo que resolver el sistema equivale a encontrar la intersección de dos rectas. Solo existen tres posibilidades: rectas secantes (un punto de corte), rectas coincidentes (la misma recta, infinitas soluciones) o rectas paralelas no coincidentes (sin solución).

Según el número de soluciones, los sistemas se clasifican en compatibles determinados (una única solución, cuando a1/a2 ≠ b1/b2), compatibles indeterminados (infinitas soluciones, cuando las tres razones son iguales) e incompatibles (ninguna solución, cuando a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2). El determinante D = a1b2 - a2b1 permite decidir rápidamente: si D ≠ 0 el sistema es compatible determinado; si D = 0 hay que comparar los términos independientes para distinguir entre indeterminado e incompatible.

Para resolverlos existen cuatro métodos principales: gráfico (visualizar la intersección de las rectas), sustitución (despejar una variable y reemplazarla), igualación (despejar la misma variable en ambas ecuaciones e igualar) y reducción (multiplicar las ecuaciones para hacer opuestos los coeficientes de una variable y sumar). Todos conducen al mismo resultado; la elección depende de los coeficientes. Es fundamental verificar la solución sustituyéndola en ambas ecuaciones originales.