Las trayectorias en razonamiento geométrico estudian el recorrido de un punto móvil entre dos puntos A y B sobre una superficie o red de líneas. No importan la velocidad ni el tiempo, sino la forma y la longitud del camino. Existen dos tipos clásicos de problemas: hallar la trayectoria mínima (el camino más corto) y contar cuántas trayectorias diferentes existen siguiendo ciertas reglas.

El principio fundamental es el desarrollo plano: la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta, pero solo en el plano. Cuando A y B están sobre un sólido (cubo, cilindro, cono), el móvil debe desplazarse pegado a la superficie, por lo que se despliegan las caras involucradas sobre un plano, se traza la recta entre A y B en ese desarrollo y, al volver a doblar el sólido, esa recta se convierte en la trayectoria mínima.

En sólidos como el cubo, la mínima entre vértices opuestos es la diagonal del rectángulo desarrollado (√(a²+b²)), probando todos los desarrollos posibles y eligiendo el menor. En el cilindro se desarrolla la superficie lateral como un rectángulo de base 2πR y altura H; si B es diametralmente opuesto a A, se recorre media vuelta (πR) y la mínima es √((πR)²+H²). Si el móvil solo puede andar por aristas, simplemente se suma la longitud de las aristas más cortas que conectan A con B.

Para el conteo de trayectorias en cuadrículas donde solo se avanza hacia la derecha y hacia arriba, cada camino mínimo es una secuencia de m pasos a la derecha y n hacia arriba, y el número total es una permutación con repetición: N=(m+n)!/(m!·n!). Por ejemplo, en una cuadrícula 2×2 hay 6 trayectorias. Errores frecuentes incluyen unir A y B por dentro del sólido (prohibido), usar un solo desarrollo, contar trayectorias con retroceso o confundir el mínimo en superficie con la suma de aristas: √(a²+b²) siempre es menor que a+b. En conclusión, toda trayectoria mínima es una línea recta si se mira la superficie desde el desarrollo correcto.