Mapa mental: Pesadas con Balanza de Dos Platillos

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Mapa mental: Pesadas con Balanza de Dos Platillos · Formatom

Pesadas con Balanza de Dos Platillos

Contenido del mapa

Pesadas con Balanza de Dos Platillos — Identificar un objeto diferente con el mínimo número de pesadas, usando solo equilibrio o desequilibrio.
- Principio de las 3 salidas — Cada pesada tiene exactamente 3 resultados posibles: A = B, A > B o A < B.
  - Equilibrio (A = B) — Ambos platillos pesan igual: el objeto buscado está fuera de la balanza.
  - Desequilibrio (A > B o A < B) — Un platillo baja y otro sube: se sabe en qué grupo está el objeto.
  - Límite de información — Con n pesadas se distinguen hasta 3 elevado a n situaciones: N ≤ 3 elevado a n.
- Método general: dividir en tres — Estrategia óptima para hallar el objeto diferente entre N objetos.
  - Formar tres grupos — Dos grupos iguales (G1 y G2) para la balanza y un grupo G3 que queda fuera.
  - Comparar y descartar — Se pesa G1 vs G2; el resultado indica en cuál grupo está el objeto.
  - Repetir hasta 1 objeto — Se aplica el proceso de nuevo solo con el grupo sospechoso.
  - Regla de oro — Nunca poner diferente cantidad de objetos en cada platillo, salvo que el problema lo indique.
- Moneda más pesada conocida — Caso clásico: se sabe que la falsa es más pesada.
  - Fórmula N máximo — Se pueden resolver hasta 3 elevado a n monedas con n pesadas.
  - Ejemplos clave — Con 1 pesada: 3 monedas; con 2: 9 monedas; con 3: 27 monedas.
- Moneda diferente sin saber su sentido — Caso difícil: la falsa puede ser más pesada o más liviana.
  - Conteo de casos — Cada moneda aporta 2 casos (pesada o liviana): 2·m casos en total.
  - Fórmula m máximo — m = (3 elevado a n - 3)/2, por ejemplo 12 monedas con 3 pesadas.
  - Uso del sentido del desequilibrio — La primera pesada sirve para saber si en la segunda se busca lo pesado o lo liviano.
- Pesadas con pesas calibradas — Se busca formar un peso exacto P con el menor número de pesas.
  - Pesas en un solo platillo — Se usa el sistema binario: 1, 2, 4, 8, hasta 2 elevado a k.
  - Pesas en ambos platillos — Se usa el sistema ternario: 1, 3, 9, 27, mucho más potente.
- Errores frecuentes — Descuidos que hacen perder pesadas o llevar a respuestas incorrectas.
  - Dividir en dos — Desperdicia la información del caso de equilibrio; siempre dividir en tres.
  - Olvidar el grupo fuera de la balanza — El equilibrio también es información valiosa.
  - Pesaje individual y supuestos erróneos — No pesar de uno en uno ni asumir que es más pesada si el problema no lo dice.

Los problemas de pesadas son un subtema del razonamiento lógico matemático que consiste en identificar un objeto diferente (una moneda falsa, una bola más pesada o una bolsa adulterada) usando el menor número posible de comparaciones en una balanza de dos platillos. A diferencia de una balanza con pantalla numérica, esta balanza solo entrega dos tipos de información: equilibrio (ambos platillos pesan igual) o desequilibrio (un platillo baja y el otro sube).

El principio fundamental es que cada pesada tiene exactamente tres resultados posibles: A = B, A > B o A < B. Por eso, con n pesadas se pueden distinguir hasta 3 elevado a n situaciones diferentes. De esta limitación nace la estrategia óptima: dividir los objetos en tres grupos lo más iguales posible, comparar dos de ellos en la balanza y descartar según el resultado. Si hay equilibrio, el objeto buscado está en el grupo fuera de la balanza; si hay desequilibrio, está en el platillo que baja (si se busca lo pesado) o en el que sube (si se busca lo liviano).

En los casos clásicos donde la moneda falsa es más pesada, el número máximo de monedas resolubles con n pesadas es 3 elevado a n (por ejemplo, 9 monedas con 2 pesadas o 27 con 3). Si no se sabe si la moneda es pesada o liviana, cada moneda aporta dos casos y la fórmula preuniversitaria es m = (3 elevado a n - 3)/2, que da el famoso problema de las 12 monedas con 3 pesadas. Finalmente, cuando se usan pesas calibradas, se aplican sistemas de numeración: binario si las pesas van en un solo platillo y ternario si pueden ir en ambos platillos.

Los errores más frecuentes son dividir en dos en lugar de tres, olvidar la información del equilibrio, pesar de uno en uno y asumir que la moneda es más pesada cuando el problema no lo indica. Dominar estos principios permite resolver con eficacia las preguntas típicas de los exámenes preuniversitarios.