Función Valor Absoluto – Resumen de Estudio

1. ¿Qué es el valor absoluto?

• Es la distancia de un número al cero en la recta numérica.
• La distancia siempre se cuenta en positivo.
• Por eso el resultado nunca es negativo: |x| >= 0.
• Analogía del edificio: si vives en el piso 0, subir a 3 o bajar a -3 implica caminar 3 pisos. Solo importa cuánto caminaste: |3| = 3 y |-3| = 3.

2. Definición por partes

• Si x >= 0, se queda igual: |x| = x. Ejemplos: |5| = 5, |0| = 0.
• Si x < 0, se cambia el signo: |x| = -x. Ejemplo: |-4| = 4.
• Propiedades que siempre se cumplen:
  • |x| >= 0 para todo x
  • |-x| = |x|
  • |x * y| = |x| * |y|
  • |x| = a con a >= 0 significa x = a o x = -a

3. La función básica f(x) = |x|

• Regla: a cada entrada x le asigna una sola salida |x|.
• Dominio: todos los números reales, porque puedes calcular |x| para cualquier x.
• Rango: y >= 0, porque el resultado nunca es negativo.
• Vértice: punto pico donde la gráfica cambia de dirección, aquí es (0,0).
• Gráfica en forma de V:
  • Rama izquierda con pendiente m = -1
  • Rama derecha con pendiente m = 1
• Tabla base:
  • x = -2 da 2
  • x = -1 da 1
  • x = 0 da 0
  • x = 1 da 1
  • x = 2 da 2

4. Cómo se mueve la V: f(x) = |x - h| + k

• La forma de V no cambia, solo se traslada sin deformarse.
• Arriba o abajo: f(x) = |x| + k sube si k > 0 y baja si k < 0. Vértice en (0,k).
• Derecha o izquierda: f(x) = |x - h| se mueve a la derecha si h > 0 y a la izquierda si h < 0. Vértice en (h,0).
• Movimiento combinado: f(x) = |x - h| + k tiene vértice en (h,k).
• Ejemplo: |x - 2| + 1 es la V básica movida 2 a la derecha y 1 hacia arriba, vértice en (2,1).

5. Ejemplo modelo: g(x) = |x - 2| + 1

• Paso 1 - Busca el vértice: iguala lo de adentro a cero: x - 2 = 0, de donde x = 2. Con el +1 de afuera, vértice (2,1).
• Paso 2 - Tabla alrededor del vértice:
  • x = 0 da |0 - 2| + 1 = 3
  • x = 1 da |1 - 2| + 1 = 2
  • x = 2 da |2 - 2| + 1 = 1
  • x = 3 da |3 - 2| + 1 = 2
  • x = 4 da |4 - 2| + 1 = 3
• Paso 3 - Dibuja: marca (0,3), (1,2), (2,1), (3,2) y (4,3) y únelos con dos segmentos rectos desde el vértice.
• Paso 4 - Verifica dominio y rango: dominio todos los reales, rango y >= 1 porque lo más bajo es y = 1.

6. Para recordar

• |x| es distancia al 0, por eso |x| >= 0.
• f(x) = |x| es una V con vértice en (0,0), dominio real y rango y >= 0.
• f(x) = |x - h| + k mueve la V al vértice (h,k) sin cambiar su forma.
• Para graficar: halla el vértice con x - h = 0, luego calcula puntos a ambos lados.