Potencia de Exponente Fraccionario

1. Idea central

Una potencia de exponente fraccionario es potencia y raíz al mismo tiempo.

• Numerador $m$ (arriba): ordena elevar → multiplicar $m$ veces.
• Denominador $n$ (abajo): ordena sacar raíz → hallar raíz $n$-ésima.
• Es solo un atajo para escribir las dos operaciones juntas.

2. Palabras clave

• Base $a$: número que se multiplica.
• Potencia $a^{m}$: forma corta de multiplicar $a$ por sí mismo.
• Exponente fraccionario $\frac{m}{n}$: hace las dos cosas a la vez.

3. La regla de oro

Paso 1: Solo raíz

Cuando el exponente es $\frac{1}{n}$: $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$

• Ejemplo: $16^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{16} = 4$, porque .

Paso 2: Raíz y potencia juntas

Cuando el exponente es $\frac{m}{n}$: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}} = (\sqrt[n]{a})^{m}$

• Se lee: eleva $a$ a $m$ y saca raíz $n$-ésima, o al revés.
• Si $a > 0$, el resultado es el mismo en los dos órdenes.

4. Truco para calcular: elige el orden fácil

• Calcula primero la raíz y después eleva: $(\sqrt[n]{a})^{m}$.
• ¿Por qué? Trabajas con números pequeños.
• Vale cuando $$, con entero y entero mayor que . El resultado es único y positivo.

5. Ejemplo modelo: $27^{\frac{2}{3}}$

• Identifica: $m = 2$, $n = 3$. Arriba potencia, abajo raíz.
• Convierte: $27^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{27^{2}} = (\sqrt[3]{27})^{2}$.

6. Claves para memorizar

• $a^{\frac{m}{n}}$ = elevar a $m$ + raíz $n$-ésima a la vez.
• = potencia. = raíz.