Progresiones: números que avanzan con regla fija

1. Idea central

• Una progresión es una lista ordenada de números que sigue una regla fija.
• Si conoces el primer número y la regla, puedes predecir toda la lista.
• Sucesión: lista ordenada con primero, segundo, tercero y así sigue.
• Término: cada número de la lista. Se escribe como a_1, a_2, a_3 y en general a_n, donde n es la posición.
• Analogía clave:
  • Escalera pareja = progresión aritmética, cada paso sube lo mismo.
  • Efecto viral = progresión geométrica, cada paso multiplica y explota rápido.

2. Progresión aritmética: sumar siempre lo mismo

• Regla: pasas de un término al siguiente sumando siempre el mismo número.
• Diferencia común: ese número fijo se llama d. Puede ser positivo, negativo o cero.
• Cómo se avanza: a_{n+1} = a_n + d
• Forma general: a_1, a_1 + d, a_1 + 2d, a_1 + 3d, ...
• Ejemplo típico: con a_1 = 2 y d = 3 obtienes 2, 5, 8, 11, 14, ...
• Término general: a_n = a_1 + (n - 1) d
  • Idea: partes de a_1 y das n - 1 saltos de tamaño d.
• Suma de los primeros n términos:
  • S_n = n (a_1 + a_n) / 2
  • S_n = n [2 a_1 + (n - 1) d] / 2
  • Idea: el primero más el último se repite, al promediar y multiplicar por n obtienes el total.

3. Progresión geométrica: multiplicar siempre por lo mismo

• Regla: pasas de un término al siguiente multiplicando siempre por el mismo número.
• Razón común: ese número fijo se llama r.
• Cómo se avanza: a_{n+1} = a_n * r
• Forma general: a_1, a_1 * r, a_1 * r^2, a_1 * r^3, ...
• Ejemplo típico: con a_1 = 3 y r = 2 obtienes 3, 6, 12, 24, 48, ...
• Término general: a_n = a_1 * r^{n - 1}
  • Idea: partes de a_1 y multiplicas n - 1 veces por r.
• Suma de los primeros n términos, cuando r es distinto de 1:
  • S_n = a_1 * (r^n - 1) / (r - 1)
• Suma infinita: si r está entre -1 y 1, sin incluir los extremos, la suma de infinitos términos tiene valor finito:
  • S_inf = a_1 / (1 - r)

4. Tabla para no confundirlas

5. Ejemplos modelo

• Ejemplo 1 - Aritmética: 2, 5, 8, 11, ... halla a_20 y S_20
  • a_20 es el término en la posición 20, S_20 es la suma hasta ese término.
  • Identifica a_1 = 2 y d = 5 - 2 = 3, restando dos términos seguidos.
  • Aplica a_n = a_1 + (n - 1) d con n = 20: a_20 = 2 + (20 - 1) * 3 = 2 + 57 = 59.
  • Aplica S_n = n (a_1 + a_n) / 2: S_20 = 20 * (2 + 59) / 2 = 610.
  • Resultado: 59 y 610.
• Ejemplo 2 - Geométrica: 3, 6, 12, 24, ... halla a_8
  • Identifica a_1 = 3 y r = 6 / 3 = 2, dividiendo porque se avanza multiplicando.
  • Aplica a_n = a_1 * r^{n - 1} con n = 8: a_8 = 3 * 2^7 = 384.

En resumen

• En la aritmética se suma d, en la geométrica se multiplica por r.
• Aritmética: a_n = a_1 + (n - 1) d y S_n = n (a_1 + a_n) / 2.
• Geométrica: a_n = a_1 * r^{n - 1} y S_n = a_1 * (r^n - 1) / (r - 1) cuando r es distinto de 1.
• Si identificas a_1, d o r, y n, puedes hallar cualquier término o suma sin escribir toda la lista.