Proporciones: Resumen de estudio

1. Definición esencial

• Una proporción es la igualdad de dos razones.
• La forma que más usarás es la proporción geométrica:

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

• Se lee: a es a b como c es a d.
• Idea clave: mismo sabor, misma comparación. Si la comparación vale lo mismo, hay proporción y puedes hallar datos que faltan sin adivinar.

2. Partes de la proporción

En

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

:

• Extremos: a y d, los que están en los bordes.
• Medios: b y c, los que quedan en el medio.
• Antecedentes: a y c, los que van arriba o primero.
• Consecuentes: b y d, los que van abajo o segundo.
• Nota: la proporción aritmética es a - b = c - d. En preuniversitario casi todo es geométrico.

3. Regla de oro: producto en cruz

• En toda proporción geométrica se cumple:
• a · d = b · c
• Es decir: producto de extremos = producto de medios.
• Sirve para comprobar si hay proporción y para despejar.
• Transformaciones útiles si

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

:

• (a + b) / b = (c + d) / d
• (a - b) / b = (c - d) / d
• (a + b) / (a - b) = (c + d) / (c - d)

4. Dos tipos que confunden: discreta y continua

• Discreta: los cuatro términos son diferentes. Ejemplo: 6/9 = 10/15.
• Continua: los dos medios son iguales, con forma especial:

$$\frac{a}{b} = \frac{b}{c}$$

• a: primera proporcional
• b: media proporcional
• c: tercera proporcional
• Propiedad clave: b² = a · c. Para hallar b saca raíz cuadrada.

5. Ejemplo modelo para recordar

• Si a/b = 3/4 y a + b = 28, entonces (a + b)/b = (3 + 4)/4.
• Sustituyes: 28/b = 7/4.
• En cruz: 28 · 4 = 7 · b, de donde b = 16 y a = 12.
• Compruebas: 12/16 = 3/4 y 12 + 16 = 28.

En resumen: proporción es igualdad de dos divisiones, extremos a y d, medios b y c, regla a · d = b · c, y si es continua b² = a · c.