Vértice y eje de simetría de la parábola

1. ¿Qué son?

• Vértice V = (xv, yv): es el punto donde la parábola cambia de dirección. Es lo más bajo si abre hacia arriba. Es lo más alto si abre hacia abajo.
• Eje de simetría: es la recta vertical que pasa por el vértice. Divide la parábola en dos mitades espejo. Su ecuación es x = xv.
• Analogía: como lanzar una pelota al aire: el instante en que se detiene arriba es el vértice; la línea vertical desde ese punto hasta el suelo es el eje.

2. Fórmulas clave

• Dada f(x) = ax^2 + bx + c, con a ≠ 0:
• xv = -b / (2a)
• yv = f(xv) = axv^2 + bxv + c
• Vértice: V = (xv, yv)
• Eje de simetría: x = xv = -b / (2a)
• Forma vértice: si f(x) = a(x - h)^2 + k, se lee directo: V = (h, k) y eje x = h.

3. ¿Mínimo o máximo? Mira el signo de a

• Si a > 0: abre hacia arriba, como sonrisa. El vértice es mínimo. yv es el valor y más pequeño.
• Si a < 0: abre hacia abajo, como montaña. El vértice es máximo. yv es el valor y más grande.

4. Ejemplo modelo: f(x) = x^2 - 4x + 3

• Paso 1 - Identifica a, b, c: a = 1, b = -4, c = 3.
• Paso 2 - Calcula xv: xv = -(-4) / (2*1) = 4/2 = 2.
• Paso 3 - Calcula yv: yv = f(2) = 2^2 - 4*2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1.
• Paso 4 - Escribe resultado: V = (2, -1). Eje: x = 2. Como a = 1 > 0, es mínimo.

5. Para recordar en el examen

• xv solo depende de a y b. No uses c para xv.
• yv siempre se halla evaluando: no lo confundas con c.
• El eje es vertical: siempre es x = algo, nunca y = algo.
• El vértice siempre está sobre la parábola: debe cumplir yv = f(xv).
• Error típico: olvidar el signo menos en -b/(2a), sobre todo si b ya es negativo.