Pendiente e intercepto de una recta

Idea principal

• Una recta queda definida con solo dos números: m y b.
• m es la pendiente: qué tan inclinada está y hacia dónde va.
• b es el intercepto: a qué altura cruza el eje vertical, o sea dónde empieza.
• Analogía de la rampa de bicicletas: b es el costo fijo por sacar la bici aunque aún no avances nada, m es lo que sube el precio por cada hora de uso.

1. Forma pendiente-intercepto: tu fórmula base

• Toda función lineal cuya gráfica es una recta se escribe así:

$$y = m x + b$$

• Roles de cada letra:
  • x: variable independiente, lo que tú eliges, como el tiempo.
  • y: variable dependiente, lo que resulta, como la altura o el costo.
  • m: pendiente, el número que mide cuánto se inclina la recta.
  • b: intercepto con el eje y, el número que dice dónde la recta corta al eje vertical.
• Una recta es una línea perfectamente derecha que sigue para siempre en ambas direcciones.

2. La pendiente m: cuánto subes por cada paso que avanzas

• Con dos puntos P1 = (x1, y1) y P2 = (x2, y2):

$$m = \frac{y2 - y1}{x2 - x1}$$

• Arriba, y2 - y1, es el cambio vertical, cuánto sube.
• Abajo, x2 - x1, es el cambio horizontal, cuánto avanza.
• Por eso se dice que la pendiente es cambio vertical dividido por cambio horizontal.
• Qué significa:
  • Si m > 0: subes cuando avanzas, la recta sube de izquierda a derecha.
  • Si m < 0: bajas cuando avanzas, la recta baja de izquierda a derecha.
  • Si m = 0: no subes ni bajas, la recta es horizontal.
• Ejemplos:
  • Si m = 2, por cada 1 que avanzas en x, subes 2 en y.
  • Si m = -1, por cada 1 que avanzas, bajas 1.

3. El intercepto b: dónde la recta corta el eje y

• Es el punto donde la recta toca a un eje de coordenadas.
• El más usado es el intercepto con el eje y: es simplemente el valor b en

$$y = m x + b$$

• Ocurre cuando x = 0, porque estar en el eje y significa no haberte movido a los lados.
• El punto exacto es (0, b).
• Lista rápida para ubicarlo:
  • Si b = 3, la recta cruza en (0, 3), tres unidades arriba del origen.
  • Si b = -2, la recta cruza en (0, -2), dos unidades abajo del origen.
  • Si b = 0, la recta pasa por el origen, o sea por (0, 0).
• Para el intercepto con el eje x se hace y = 0 y se despeja x, pero en esta forma el protagonista es b.

4. Ejemplo modelo para hallar m y b

• Recta que pasa por A = (1, 3) y B = (4, 9):
  • Paso 1: ordena los datos x1 = 1, y1 = 3, x2 = 4, y2 = 9.
  • Paso 2: calcula m:

$$m = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$$

• Paso 3: usa A en y = m x + b:

$$3 = 2 \cdot 1 + b$$

, entonces b = 1.

• Paso 4: ecuación

$$y = 2 x + 1$$

y verifica con B:

$$9 = 2 \cdot 4 + 1$$

• Resultado: m = 2, b = 1, punto de corte (0, 1).

Conceptos clave para el examen

$$y = m x + b$$

resume toda recta con solo m y b.

$$m = \frac{y2 - y1}{x2 - x1}$$

dice si la recta sube, baja o es horizontal.

• b es el punto (0, b) donde cruza el eje y.
• Con dos puntos: primero hallas m y luego usas y = m x + b con un punto para despejar b y verificas con el otro.