Números Reales y Desigualdades

1. Los reales viven en la recta numérica

• Un número real es todo punto de una recta infinita con 0 en el centro.
• Incluye enteros (-3, 0, 2), decimales (1.5, -0.75) e irracionales (√2, π).
• Orden: hacia la derecha es más grande, hacia la izquierda es más pequeño.
• Analogía termómetro: estar más a la derecha = mayor valor.

2. ¿Qué es una desigualdad?

• Una desigualdad compara dos números y dice cuál está a la izquierda o a la derecha.
• Símbolos clave:
  • < menor que: a < b → a está a la izquierda de b
  • > mayor que: a > b → a está a la derecha de b
  • ≤ menor o igual que: izquierda o mismo punto
  • ≥ mayor o igual que: derecha o mismo punto
• Ejemplos: -1 < 3 es verdadero, 5 ≥ 5 es verdadero.
• Propiedades del orden:
  • Tricotomía: para a y b solo ocurre una: a < b o a = b o a > b
  • Transitividad: si a < b y b < c, entonces a < c. Ej: 2 < 3 y 3 < 7 → 2 < 7

3. Las 3 reglas de oro para resolver inecuaciones

• Una inecuación es una desigualdad con incógnita (x). Resolver es hallar todos los x que la cumplen.
  1. Sumar o restar lo mismo no cambia el orden: si a < b, entonces a + c < b + c
  2. Multiplicar o dividir por positivo no cambia el orden: si a < b y c > 0, entonces a·c < b·c
  3. Multiplicar o dividir por negativo invierte el orden: si a < b y c < 0, entonces a·c > b·c
• Clave para recordar: 2 < 5 pero -2 > -5. El menos da la vuelta a la recta.

4. Intervalos: la forma corta de la solución

• La solución suele ser infinita, se escribe como intervalo:
  • (a, b) → a < x < b, sin incluir extremos
  • [a, b] → a ≤ x ≤ b, incluyendo extremos
  • [a, +∞) → x ≥ a, desde a hacia la derecha
  • (-∞, a) → x < a, todo a la izquierda de a
• Importante: +∞ y -∞ no son números, siempre llevan paréntesis.

5. Ejemplo modelo: -2x + 4 ≤ 10

• Paso 1: Restar 4 en ambos lados: -2x ≤ 6 (por regla 1)
• Paso 2: Dividir entre -2 e invertir el signo: x ≥ -3 (por regla 3)
• Paso 3: Escribir como intervalo: [-3, +∞)
• Comprobación: con x = 0 → 4 ≤ 10 verdadero; con x = -5 → 14 ≤ 10 falso. Funciona.

Resumen final para memorizar

• Reales = puntos de la recta; más a la derecha, más grande.
• Símbolos <, >, ≤, ≥ comparan posiciones en la recta.
• Sumar y multiplicar por positivo mantiene el orden; multiplicar o dividir por negativo lo invierte.
• La solución se escribe como intervalo, ej: x ≥ -3 → [-3, +∞)