Teorema del Triángulo Inscrito

1. Idea central

Si un triángulo está inscrito en una circunferencia y uno de sus lados es el diámetro, el ángulo opuesto siempre mide 90°.

• El diámetro AB es como el corte que parte la pizza justo por la mitad.
• El vértice C puede estar en cualquier punto del borde, salvo A y B.
• Donde pongas C, el ángulo en C siempre es una L perfecta: obtienes un triángulo rectángulo.

2. Vocabulario esencial

• Circunferencia: solo el borde redondo.
• Centro O: punto justo en medio del círculo.
• Radio r: distancia del centro al borde. Todos los radios miden lo mismo.
• Diámetro AB: línea recta que pasa por O y toca el borde en dos puntos. Mide 2r.
• Triángulo inscrito: triángulo con sus 3 vértices tocando la circunferencia.
• Ángulo recto: ángulo en forma de L, mide 90°.
• Hipotenusa: lado más largo del triángulo rectángulo, está frente al ángulo recto.

3. Enunciado del teorema

Si AB es un diámetro de circunferencia de centro O y C es cualquier otro punto de la circunferencia, entonces el triángulo ABC es rectángulo en C.

• Ángulo ACB = 90°.
• AB es la hipotenusa.

4. Condiciones para poder aplicarlo

• A, B y C están en el borde.
• AB pasa por O, o sea, AB es diámetro. Es la condición clave.
• C es distinto de A y de B, si no el triángulo se aplasta.
• Si falta alguna, no vale: sin borde no hay inscripción, sin diámetro no hay ángulo recto garantizado.

5. Por qué es verdad

Solo usamos dos ideas: todos los radios son iguales y los ángulos de un triángulo suman 180°.

1. Tres radios iguales: une O con C. Entonces OA = OB = OC = r.
2. Aparecen dos triángulos isósceles:
   • En OAC, OA = OC, entonces ángulo OAC = ángulo OCA = α.
   • En OBC, OB = OC, entonces ángulo OBC = ángulo OCB = β.
3. Suma del triángulo grande ABC: ángulo en A es α, en B es β, en C es α + β. Entonces α + β + (α + β) = 180°.
4. Despeje: 2α + 2β = 180°, luego α + β = 90°. Pero α + β es justo el ángulo ACB. Por eso siempre es recto.

6. Ejemplo modelo

Problema: diámetro AB = 10 cm, punto C en el borde, ángulo CAB = 30°. Halla ángulo ABC y lado BC.

1. Comprueba el teorema: A, B, C en el borde y AB es diámetro, entonces ángulo ACB = 90°.
2. Halla el ángulo que falta: 30° + 90° + ángulo ABC = 180°, entonces ángulo ABC = 60°.
3. Halla BC con trigonometría: seno = cateto opuesto entre hipotenusa. El opuesto a 30° es BC y la hipotenusa es AB. Entonces sin(30°) = BC / AB. Como sin(30°) = 0.5 y AB = 10 cm, BC = 10 cm x 0.5 = 5 cm.

7. Claves para el examen

• Diámetro a la vista = piensa en ángulo recto en el borde.
• El diámetro siempre es la hipotenusa, el lado más largo.
• Vale para cualquier posición de C en la circunferencia.
• La clave de la demostración es OA = OC = OB = r, que crea dos isósceles que suman 180°.
• Sin confirmar que AB pasa por el centro, no puedes usar el teorema.