Medidas de tendencia central para datos agrupados

1. Idea en 30 segundos

• Agrupas muchos datos en intervalos y los resumes en un solo número típico.
• Como perdiste los valores exactos, usas el centro de cada intervalo como representante.
• Todo resultado es una aproximación.

2. Piezas que debes dominar

• Intervalo o clase: rango donde caen varios datos, ej: [10;20).
• Frecuencia $f_i$: número de datos en cada caja.
• Marca de clase $x_i$: punto medio de la caja:

$$x_i = \frac{\text{limite inferior + limite superior}}{2}$$

• Frecuencia acumulada $F_i$: suma de frecuencias hasta esa caja.
• Ancho de clase $A$: tamaño de la caja, ej: si van de 10 en 10, $A = 10$.
• Total $n$: .

3. Las 3 medidas paso a paso

Media aritmética $\bar{x}$

• Promedio representativo usando las marcas ponderadas:

$$\bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot f_i)}{n}$$

• Lógica: $x_i \cdot f_i$ simula sumar el centro tantas veces como datos hay, luego divides entre $n$.

Mediana $Me$

• Valor central que deja mitad abajo y mitad arriba.
• Paso 1: calcula $n/2$.
• Paso 2: busca la clase mediana, primera caja donde $F_i$ alcanza o supera a $n/2$.
• Paso 3: aplica:

$$Me = L_i + \left( \frac{\frac{n}{2} - F_{i-1}}{f_i} \right) \cdot A$$

• Donde $L_i$ es limite inferior de la clase mediana, $F_{i-1}$ acumulada anterior, $f_i$ frecuencia de la clase, ancho.

Moda $Mo$

• Valor más repetido, zona más llena.
• Paso 1: busca la clase modal, la de mayor $f_i$.
• Paso 2: aplica:

$$Mo = L_i + \left( \frac{d_1}{d_1 + d_2} \right) \cdot A$$

• Donde $d_1 = f_i - f_{i-1}$ y .

4. Ejemplo relámpago

• Tabla de 40 estudiantes, tiempo en minutos: [0;10) con 6, [10;20) con 14, [20;30) con 12, [30;40) con 8.
• n = 40 y marcas 5, 15, 25, 35.
• Media: $(30+210+300+280)/40 = 820/40 = 20.5$.
• Mediana: $n/2 = 20$, clase mediana [10;20) con , .

5. Para no fallar en el examen

• No confundas $f_i$ con $F_i$: $f_i$ es por caja, es acumulado.