Conteo de Figuras

1. ¿Qué significa contar figuras?

• Contar figuras es hallar cuántas figuras de un mismo tipo hay en un dibujo.
• No solo las chiquitas, también las grandes que se forman al juntarlas.
• Si cuentas sin orden, repites o te falta alguna.
• La clave es el conteo sistemático por tamaño: primero las de 1 pieza, luego las de 2, luego las de 3, y al final sumar todo.

2. Vocabulario clave

• Segmento: trozo recto entre dos puntos. Tiene inicio y final.
• Rayo: línea que parte de un punto y sigue recta en una dirección.
• Ángulo: abertura entre dos rayos que salen del mismo punto.
• Figura simple: la de una sola pieza, sin divisiones dentro.
• Figura compuesta: la que se forma al unir 2 o más figuras simples que están pegadas.
• Conteo sistemático por tamaño: método de contar por orden de tamaño para no perder ni repetir.

3. Fórmulas esenciales

Segmentos en una línea

• Dato: n puntos sobre la recta.
• Cada segmento necesita 2 extremos.
• Fórmula:

$$N_{seg} = \frac{n(n-1)}{2}$$

• Ejemplo: con n = 5,

$$\frac{5 \times 4}{2} = 10$$

segmentos.

Ángulos con mismo origen

• Dato: n rayos desde el mismo origen.
• Cada ángulo necesita 2 rayos.
• Fórmula:

$$N_{ang} = \frac{n(n-1)}{2}$$

Triángulos con vértice común

• Dato: m partes pequeñas desde un vértice.
• Hay m+1 líneas saliendo del vértice, por eso cambia a m+1.
• Fórmula:

$$N_{tri} = \frac{m(m+1)}{2}$$

Rectángulos en cuadrícula

• Dato: m líneas horizontales y n líneas verticales.
• Para formar un rectángulo necesitas elegir 2 horizontales y 2 verticales.
• Fórmula:

$$N_{rec} = \frac{m(m-1)}{2} \times \frac{n(n-1)}{2}$$

• Idea clave: todo conteo es una elección de 2 bordes.

4. Tabla resumen

$$\frac{n(n-1)}{2}$$

| | Ángulos con mismo origen | n rayos desde el origen |

$$\frac{n(n-1)}{2}$$

| | Triángulos con vértice común | m partes pequeñas |

$$\frac{m(m+1)}{2}$$

| | Rectángulos en cuadrícula | m horizontales y n verticales |

$$\frac{m(m-1)}{2} \times \frac{n(n-1)}{2}$$

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5. Método infalible paso a paso

1. Cuenta los de 1 pieza, los más chiquitos.
2. Cuenta los de 2 piezas vecinas.
3. Cuenta los de 3 piezas seguidas.
4. Sigue hasta la figura completa.
5. Suma todo.

• Truco para no fallar: marca cada figura que ya contaste y avanza siempre de izquierda a derecha.

6. Ejemplo modelo

• Triángulo grande cortado por 3 líneas desde el vértice de arriba, con 4 triangulitos abajo:
• De 1 pieza: 4
• De 2 piezas: 3
• De 3 piezas: 2
• De 4 piezas: 1, el triángulo grande completo
• Total: 4 + 3 + 2 + 1 = 10
• Con fórmula, m = 4:

$$N_{tri} = \frac{4 \times 5}{2} = 10$$

7. Para memorizar

• Cuenta siempre simples y compuestas, en orden por tamaño.
• Usa

$$\frac{n(n-1)}{2}$$

cuando el dato es número de puntos, rayos o líneas.

• Usa

$$\frac{m(m+1)}{2}$$

cuando el dato es número de partes pequeñas.

• Piensa en elegir 2 bordes: 2 puntos para segmento, 2 rayos para ángulo, 2 líneas para rectángulo.