Diferencia de Cuadrados: Convierte una Resta en Multiplicación

Idea central

• Si ves una resta de dos cuadrados perfectos, puedes cambiarla por una multiplicación.
• Esa multiplicación siempre es la suma por la resta de sus bases.
• Es un atajo seguro para factorizar sin hacer cuentas largas.

Palabras clave que debes dominar

• Cuadrado: algo multiplicado por sí mismo. Ejemplo: $x^2$ es $x$ por $x$, y $25 = 5^2$.
• Cuadrado perfecto: término que es el cuadrado de otro más simple. Ejemplos: $9 = 3^2$, $x^2$, $4x^2 = (2x)^2$.
• Diferencia: solo significa resta. $a^2 - b^2$ se lee diferencia de los cuadrados de $a$ y $b$.
• Producto notable: multiplicación especial que aparece tanto que conviene aprenderla de memoria.
• Factorizar: pasar de una suma o resta a una multiplicación. Ejemplo: $x^2 - 9$ a $(x - 3)(x + 3)$.

La fórmula

• $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
• Donde y pueden ser números, letras o combinaciones como o .

Cómo usarla en 3 pasos

1. Confirma la forma: deben ser exactamente dos términos separados por una resta, y los dos deben ser cuadrados perfectos. Si ves suma, no es este caso.
2. Encuentra las bases $a$ y $b$: pregúntate qué elevado al cuadrado da cada término. Ejemplo: si es $4x^2$, la base es $2x$ porque $(2x{)}^2$; si es , la base es porque .

Ejemplo modelo

• Factoriza $4x^2 - 25$:
• Paso 1: Sí es diferencia de cuadrados. Hay dos términos, $4x^2$ y $25$, unidos por resta y ambos son cuadrados perfectos.
• Paso 2: $$ porque . porque .

Reconócela rápido

• Sí son diferencia de cuadrados:
  • $x^2 - 9$ porque $x^2 = (x)^2$ y

En resumen para el examen

• $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
• Solo funciona si hay resta y si los dos términos son cuadrados perfectos.