Criterios de Semejanza de Triángulos

1. ¿Qué significa que dos triángulos sean semejantes?

• Semejantes = misma forma, distinto tamaño.
• Se escribe: $\triangle ABC \sim \triangle DEF$.
• Necesitas 2 cosas:
  • Ángulos correspondientes iguales: los que están en la misma posición. Ejemplo: $\angle A = \angle D$.
  • Lados correspondientes proporcionales: los que están frente a ángulos correspondientes iguales. Ejemplo: $AB$ con $DE$.
• Razón de semejanza k: el número que se repite al dividir lados correspondientes. Si $k = 2$, todo lado del segundo mide el doble.
• Proporción: igualdad entre dos divisiones, como $\frac{2}{4} = \frac{3}{6}$.

2. ¿Qué es un criterio de semejanza?

• Es un atajo o regla mínima: si se cumple, ya garantiza que los triángulos son semejantes sin revisar todo.
• Piensa en una fotocopia ampliada: no se deforma, no se tuerce, solo crece por $k$.
• Los criterios comprueban rápido que no hubo deformación, mirando solo $2$ ángulos o solo lados.

3. Los 3 criterios

Criterio AA: dos ángulos iguales

• Si dos pares de ángulos son iguales, los triángulos son semejantes.
• Basta con dos porque los tres ángulos siempre suman $180^\circ$: el tercero coincide a la fuerza.
• Si $\angle A = \angle D$ y $\angle B = \angle E$, entonces .

Criterio LLL: tres pares de lados proporcionales

• Si los tres lados crecen en la misma proporción, los triángulos son semejantes.
• No necesitas saber nada de los ángulos.
• Si $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$, entonces .

Criterio LAL: dos lados proporcionales y el ángulo entre ellos igual

• Si un ángulo es igual y los dos lados que lo forman son proporcionales, los triángulos son semejantes.
• Ojo: el ángulo tiene que estar entre los dos lados que comparas. Si está en otro lugar, no vale.
• Si $\angle A = \angle D$ y $\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF}$, entonces .

4. Tabla para decidir rápido

• AA: compruebas $2$ ángulos iguales -> concluyes $\triangle ABC \sim \triangle DEF$.
• LLL: compruebas $3$ lados proporcionales -> concluyes $\triangle ABC \sim \triangle DEF$.

5. Ejemplo modelo con AA

• Persona de $1,7$ m con sombra de $2$ m. Árbol con sombra de $7$ m. Halla $h$.
• Paso 1: Nombra los triángulos. Pequeño: $1,7$ y $2$. Grande: y .

6. Ideas clave para recordar

• Semejantes significa mismos ángulos y lados proporcionales con razón $k$.
• AA: con $2$ ángulos iguales basta.
• LLL: con $3$ pares de lados proporcionales basta, sin mirar ángulos.
• LAL: con $2$ pares de lados proporcionales y el ángulo que está entre ellos igual basta.