Ecuaciones lineales y cuadráticas

1. Conceptos clave

• Ecuación: igualdad con una incógnita.
• Incógnita: letra que esconde el valor, casi siempre $x$.
• Solución: valor de $x$ que vuelve verdadera la igualdad.
• Coeficiente: número que multiplica a $x$, como $a$ en $ax$.
• Grado: exponente más grande de $x$. Si es $1$, es lineal. Si es $2$, es cuadrática.
• Analogía de la balanza: lo que hay a la izquierda del signo $=$ pesa lo mismo que lo de la derecha. Resolver es quitar peso de ambos lados hasta dejar sola a $x$.

2. Ecuaciones lineales

• Forma general:

$$ax + b = 0$$

con $a \neq 0$.

• Gráfica: recta, línea derecha infinita.
• Soluciones: siempre 1 sola solución.
• Pasos para resolver:
  1. Quita paréntesis y denominadores si los hay.
  2. Pasa los términos con $x$ a un lado y los números al otro.
  3. Agrupa y despeja $x$ dividiendo entre su coeficiente.
  4. Comprueba sustituyendo en la ecuación original.
• Ejemplo modelo: $3x - 5 = 10$ da $3x = 15$ y .

3. Ecuaciones cuadráticas

• Forma general:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

con $a \neq 0$.

• Gráfica: parábola con forma de $U$.
• Soluciones: hasta 2 soluciones.
• Discriminante:

$$D = b^2 - 4ac$$

• Si $D > 0$: hay dos cortes distintos, 2 soluciones reales.
• Si $D = 0$: hay un solo toque, 1 solución doble.
• Si $D < 0$: no hay corte, 0 soluciones reales.
• Fórmula general:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

• El símbolo $\pm$ significa hacer el cálculo dos veces: una con $+$ y otra con $-$.
• Ejemplo modelo: $x^2 - 5x + 6 = 0$ con , , da y , o sea y .

4. En resumen

• Lineal $ax + b = 0$: se resuelve despejando $x$, da 1 solución.
• Cuadrática $ax^2 + bx + c = 0$: puede dar hasta 2 soluciones.