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Resumen: Complemento de un Conjunto - Resumen de Estudio · Formatom
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Complemento de un Conjunto - Resumen de Estudio
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Complemento de un Conjunto
1. Idea central
El complemento es lo que le falta a un conjunto para completar el total.
Si
U
U
U
es el todo y
A
A
A
es una parte de ese todo, entonces
A
c
A^c
A
c
es todo lo que está en
U
U
U
pero no está en
A
A
A
.
Sin
U
U
U
no hay complemento: si cambias
U
U
U
, cambia
A
c
A^c
A
c
.
2. Palabras clave que debes dominar
Conjunto:
colección de objetos. Cada objeto es un
elemento
.
Pertenecer:
x
∈
A
x \in A
x
∈
A
significa que
x
x
x
está dentro de
A
A
A
.
Universal
U
U
U
:
la caja grande que contiene todo lo que interesa en el problema. Nada se sale de
U
U
U
.
Estar contenido:
significa que todo elemento de
está en
.
3. Definición exacta
Si
A
⊆
U
A \subseteq U
A
⊆
U
, entonces:
A
c
=
{
x
∈
U
∣
x
∉
A
}
A^c = \{x \in U \mid x \notin A\}
A
c
=
{
x
∈
U
∣
x
4. Cómo se ve en un diagrama de Venn
Dibuja un rectángulo para
U
U
U
.
Dibuja un círculo dentro para
A
A
A
.
Pinta todo lo que está fuera del círculo pero dentro del rectángulo. Eso pintado es
A
c
A^c
A
c
.
Ejemplo cotidiano: si
U
U
U
son todos los del salón y
A
A
A
son los que trajeron lonchera,
son los del mismo salón que no trajeron lonchera.
5. Ejemplo modelo paso a paso
Datos:
U
=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}
U
=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
y
A
=
{
2
,
4
,
6
}
A = \{2, 4, 6\}
A
=
{
2
,
4
,
. Halla
.
6. Propiedades que te ahorran tiempo
Doble complemento:
(
A
c
)
c
=
A
(A^c)^c = A
(
A
c
)
c
=
A
. El complemento del complemento vuelve al inicio.
Llenan el total:
A
∪
A
c
=
U
A \cup A^c = U
A
∪
A
. Si juntas
con lo que le faltaba, completas
.
7. Resumen para memorizar
A
c
A^c
A
c
es lo que le falta a
A
A
A
para llenar a
U
U
U
.
Siempre se calcula dentro de un
U
U
U
fijo:
A
c
=
{
x
∈
U
∣
x
∉
A
}
A^c = \{x \in U \mid x \notin A\}
.
Comentarios
Aún no hay comentarios.
A
⊆
U
A \subseteq U
A
⊆
U
A
A
A
U
U
U
Complemento de
A
A
A
:
todos los elementos de
U
U
U
que no están en
A
A
A
. Se escribe
A
c
A^c
A
c
. También verás
A
′
A'
A
′
o
A
ˉ
\bar{A}
A
ˉ
. Significan lo mismo.
∈
/
A
}
Se lee:
A
c
A^c
A
c
es el conjunto de los
x
x
x
que están en
U
U
U
y cumplen que
x
x
x
no está en
A
A
A
.
A
c
A^c
A
c
6
}
A
c
A^c
A
c
Paso 1: Fija
U
U
U
, porque solo se busca dentro de
U
U
U
.
Paso 2: Fija
A
A
A
, para saber a quiénes excluir.
Paso 3: Recorre cada elemento de
U
U
U
y pregunta si está en
A
A
A
:
1
1
1
sí entra,
2
2
2
no entra,
3
3
3
sí entra,
4
4
4
no entra,
5
5
5
sí entra,
6
6
6
no entra.
Paso 4: Junta a los elegidos:
A
c
=
{
1
,
3
,
5
}
A^c = \{1, 3, 5\}
A
c
=
{
1
,
3
,
5
}
Comprueba:
A
A
A
tiene los pares,
A
c
A^c
A
c
los impares. Juntos llenan
U
U
U
y no se traslapan.
c
=
U
A
A
A
U
U
U
No se cruzan:
A
∩
A
c
=
∅
A \cap A^c = \emptyset
A
∩
A
c
=
∅
. Nada puede estar dentro y fuera a la vez.
Complemento del total:
U
c
=
∅
U^c = \emptyset
U
c
=
∅
. Fuera de todo no queda nada.
Complemento del vacío:
∅
c
=
U
\emptyset^c = U
∅
c
=
U
. Si
A
A
A
no tiene nada, su complemento es todo
U
U
U
.
Recuerda:
∅
\emptyset
∅
es el conjunto vacío, el que no tiene elementos.
∪
\cup
∪
es juntar y
∩
\cap
∩
es quedarse con lo común.
A
c
=
{
x
∈
U
∣
x
∈
/
A
}
En Venn es el rectángulo
U
U
U
menos el círculo
A
A
A
.
Cumple
A
∪
A
c
=
U
A \cup A^c = U
A
∪
A
c
=
U
y
A
∩
A
c
=
∅
A \cap A^c = \emptyset
A
∩
A
c
=
∅
.
El contexto manda: cambia
U
U
U
y cambia $A^c.
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