Idea central en 2 líneas

• Diferencia A - B: quédate solo con lo que está en A y no está en B.
• Complemento A^c: quita A de toda la recta real ℝ; lo que sobra es ℝ - A.
• Piensa en playlists: si la tuya tiene rock, pop y salsa y la de tu amigo tiene pop y reguetón, al quedarte solo con lo tuyo no repetido borras el pop y te quedas con rock y salsa.

1. Diferencia de intervalos: A - B

• Definición: A - B = { x ∈ ℝ | x ∈ A y x ∉ B }
• En palabras: si un número está en A y no está en B, se queda; si está en B, se borra aunque esté en A.
• Regla de oro para los bordes:
  • Si un punto está en A pero no está en B, sí se queda en A - B.
  • Si un punto sí está en B, se elimina de A - B aunque esté en A.
  • Recuerda: [ ] incluye el extremo, ( ) lo excluye. Eso decide si el borde queda abierto o cerrado.
• Ejemplo rápido: [1,5] - [3,7] = [1,3)
  • Lo común va de 3 a 5 y se borra de A.
  • El 3 queda fuera porque sí estaba en B.
  • El 1 sigue incluido porque estaba en A y no en B.

2. Complemento de un intervalo: A^c

• Definición: A^c = ℝ - A = { x ∈ ℝ | x ∉ A }
• En palabras: son todos los números reales que no están en A.
• Otras escrituras: también lo verás como A' o ∁A. Es lo mismo.
• Universo: aquí casi siempre es ℝ, toda la recta.
• Ejemplo rápido: (2, +∞)^c = (-∞, 2]
  • A son los x > 2.
  • El 2 no estaba en A, por eso ahora sí queda incluido.

3. Diferencia vs Complemento

• Diferencia A - B: comparas contra otro intervalo B. Es lo de A que no está en B.
• Complemento A^c: comparas contra todo ℝ. Es todo lo que no está en A.
• El complemento es un caso especial de diferencia: A^c = ℝ - A.

4. Ejemplo modelo paso a paso

• Calcula [-1,4] - (2,6]:
  • A = [-1,4] son los x con -1 ≤ x ≤ 4. Incluye -1 y 4.
  • B = (2,6] son los x con 2 < x ≤ 6. No incluye 2, sí incluye 6.
  • Traslape que se borrará: desde después de 2 hasta 4.
  • Resultado: [-1,4] - (2,6] = [-1,2]
  • El -1 se queda porque estaba en A y no en B.
  • El 2 se queda porque estaba en A y tampoco está en B, B es abierto en 2.
• Al revés: (2,6] - [-1,4] = (4,6]. Solo sobrevive lo que pasa de 4.
• Complemento modelo: [3, +∞)^c = (-∞, 3). El 3 estaba en C y se borra, queda fuera.

5. Claves para no fallar en el examen

• Un borde queda incluido en el resultado solo si estaba incluido en A y excluido de B.
• La diferencia no es conmutativa: el orden sí importa. A - B ≠ B - A.
• Doble complemento: (A^c)^c = A.
• Siempre ubica primero cada intervalo y su traslape en la misma recta antes de decidir los bordes.