Regla de Tres Compuesta Inversa

1. La idea en 2 líneas

• Más ayuda = menos tiempo. Más obreros = menos días. Más horas por día = menos días.
• La regla de tres compuesta inversa calcula el resultado final cuando cambian dos o más causas a la vez y todas hacen que el resultado disminuya.

2. Conceptos clave

• Magnitud: todo lo que se puede medir o contar. Ej.: número de obreros, horas por día, días de trabajo.
• Proporcionalidad inversa (IP): si una se multiplica, la otra se divide igual. Su producto siempre vale lo mismo:

$$A \times B = k$$

donde $k$ es constante.

• Regla de tres compuesta inversa: método con 3 o más magnitudes donde todas las conocidas son IP a la incógnita $x$.

3. ¿Cómo reconocer que es compuesta inversa pura?

• Pregunta para cada magnitud frente a la incógnita: si aumento esta, ¿la incógnita aumenta o disminuye?
• Si en todas la respuesta es disminuyen, es compuesta inversa pura.
• Ejemplo:
  • N.º de pintores (P): 6 → 9 → los días disminuyen
  • Horas por día (H): 4 → 8 → los días disminuyen
  • Días de trabajo (D): 15 → x → es la incógnita
• Analogía: vaciar una piscina con baldes. Más amigos y más viajes por hora = terminas mucho antes. Cada ayuda reduce el tiempo.

4. El método: igualar los productos

• En inversa se conserva el producto:

$$P_{1} \times H_{1} \times D_{1} = P_{2} \times H_{2} \times D_{2}$$

• Pasos siempre iguales:
  1. Ordena los datos en columnas.
  2. Comprueba que cada magnitud es IP respecto a la incógnita.
  3. Multiplica todo lo de la situación 1 e iguala a todo lo de la situación 2.
  4. Despeja $x$.

5. Ejemplo modelo paso a paso

Problema: 6 pintores, trabajando 4 horas al día, tardan 15 días. ¿En cuántos días harán el mismo trabajo 9 pintores trabajando 8 horas al día?

• Paso 1 - Ordenar:

$$6 \times 4 \times 15 = 9 \times 8 \times x$$

• Paso 2 - Verificar: de 6 a 9 pintores hay más manos → menos días (IP). De 4 a 8 horas hay más trabajo diario → menos días (IP).
• Paso 3 - Igualar productos:

$$360 = 72 \times x$$

• Paso 4 - Despejar:

$$x = \frac{360}{72} = 5$$

• Respuesta: 5 días.

6. En resumen para el examen

• Es compuesta porque usa 3 o más magnitudes, e inversa porque todas son IP a la incógnita.
• Cálculo directo: producto situación 1 = producto situación 2.
• Verificación: si aumentaste las ayudas, el resultado debe ser menor. Aquí 5 < 15, tiene sentido.