Regla de tres compuesta directa

La idea en 2 líneas

• Si aumentas las causas, el resultado aumenta en la misma proporción.
• La regla de tres compuesta directa calcula ese resultado nuevo cuando cambian varias causas a la vez.

Palabras clave en simple

• Magnitud: es todo lo que puedes contar o medir. Por ejemplo, $obreros$, $horas$, $máquinas$ o $botellas$.
• Proporcionalidad directa: dos magnitudes están en proporción directa si crecen juntas y se achican juntas. Si una se duplica, la otra también se duplica.
• Regla de tres compuesta directa: es la cuenta que usamos cuando hay $3$ o más magnitudes relacionadas, una de ellas con un valor desconocido llamado incógnita y representado con $x$, y todas las demás ayudan en forma directa al resultado.

Analogía de la vida diaria: la limonada

• Piensa en hacer limonada para una fiesta.
• Más vasos de agua y más cucharadas de azúcar producen más vasos de limonada.
• El agua no compite con el azúcar, los dos ayudan en la misma dirección.
• Eso es directo y compuesto: varias causas que empujan el resultado hacia el mismo lado.

Cómo reconocerla

Hazte $2$ preguntas:

• ¿Hay $3$ o más magnitudes? Si la respuesta es sí, es compuesta.
• Si aumenta cada causa por separado, ¿aumenta el resultado? Si la respuesta siempre es sí, es toda directa.

El método en 3 pasos

Supón que $a_1$ y $b_1$ producen $r_1$, mientras que y producirán . Si todo es directo:

• Paso $1$: compara cada causa con el resultado y confirma que es directa.
• Paso $2$: ordena los datos viejos arriba y los nuevos abajo.
• Paso $3$: despeja $x$ multiplicando por las fracciones con lo nuevo arriba:

$$x = r_1 \times \frac{a_2}{a_1} \times \frac{b_2}{b_1}$$

• ¿Por qué lo nuevo va arriba? Porque si lo nuevo es mayor, la fracción es mayor que $1$ y el resultado crece. Eso es justo lo que significa directo.
• Con $3$ causas sería igual, solo agregas otra fracción:

$$x = r_1 \times \frac{a_2}{a_1} \times \frac{b_2}{b_1} \times \frac{c_2}{c_1}$$

Ejemplo resuelto paso a paso

Problema: $5$ máquinas trabajando $4$ horas hacen $200$ botellas. ¿Cuántas botellas harán $8$ máquinas trabajando $6$ horas?

• Paso $1$: ordena los datos.

• Paso $2$: verifica que es directa.

  • Más máquinas con las mismas horas dan más botellas. Es directa.
  • Más horas con las mismas máquinas dan más botellas. También es directa.
  • Por eso puedes aplicar la fórmula directa.

• Paso $3$: aplica la fórmula y calcula.

  • Aquí $r_1$ es $200$, es , es , es y es :

$$x = 200 \times \frac{8}{5} \times \frac{6}{4}$$

• Primero simplifica $6$ entre $4$. Ambos se pueden dividir entre $2$:

$$x = 200 \times \frac{8}{5} \times \frac{3}{2}$$

• Multiplica todo:

$$x = 200 \times \frac{24}{10} = 480$$

• Respuesta: se harán $480$ botellas. Tiene sentido porque aumentaron las máquinas y las horas, así que el resultado debía ser mayor que $200$.

En resumen para el examen

• La regla de tres compuesta directa se usa con $3$ o más magnitudes todas directas hacia el resultado.
• Lo nuevo siempre va arriba en cada fracción para que el resultado crezca si las causas crecen.
• Ordena los datos en una tabla para no confundir valores viejos y nuevos.
• Simplifica antes de multiplicar para hacer la cuenta más fácil y evitar errores.