Función Cuadrática - Resumen de Estudio

1. Definición

• Es una función donde a cada x le corresponde un solo y, y el mayor exponente de x es 2.
• Forma general: f(x) = ax^2 + bx + c
• a, b y c son coeficientes, números fijos que definen cada función.
• Condición clave: a distinto de 0, sin ax^2 no hay cuadrado.
• Dominio: todos los números reales.

2. Gráfica: la parábola

• Su dibujo siempre es una curva en forma de U llamada parábola.
• Imagina lanzar una pelota: sube hasta un tope y luego baja y cambia de dirección.

Concavidad

• Si a > 0: abre hacia arriba, como sonrisa. El vértice es mínimo, el punto más bajo.
• Si a < 0: abre hacia abajo, como cara triste. El vértice es máximo, el punto más alto.

Vértice y eje de simetría

• Vértice V = (xv, yv) es el punto donde la curva gira.
• xv = -b/(2a)
• yv = f(xv), se halla reemplazando xv en la función.
• Eje de simetría: recta vertical x = xv que parte la parábola en dos mitades iguales.

3. Puntos clave para graficar

• Intersección con eje y: ocurre cuando x = 0. Siempre es P = (0, c).
• Raíces o ceros: valores de x donde y = 0. Ahí corta al eje x.
• Discriminante: D = b^2 - 4ac, avisa cuántas raíces hay.
• Si D > 0: corta al eje x en dos puntos distintos.
• Si D = 0: toca al eje x en un solo punto.
• Si D < 0: no corta al eje x.
• Fórmula de raíces: x = (-b ± √D)/(2a)

4. Ejemplo modelo: f(x) = x^2 - 4x + 3

• a = 1, b = -4, c = 3.
• Abre hacia arriba porque a > 0. El vértice será mínimo.
• Vértice: xv = 2, yv = -1 → V = (2, -1).
• Eje: x = 2.
• Intersección con eje y: (0, 3).
• D = 16 - 12 = 4 > 0 → dos cortes: x = 1 y x = 3.

5. Para memorizar

• f(x) = ax^2 + bx + c con a distinto de 0 → parábola.
• a > 0 abre arriba, a < 0 abre abajo.
• Vértice con xv = -b/(2a) y eje x = xv.
• D = b^2 - 4ac define si hay 2, 1 o 0 cortes con el eje x.