Objetivo: Traducir, Resolver y Filtrar

Muchos problemas reales no crecen en línea recta. Suben y luego bajan, como una pelota que lanzas. Tu trabajo es traducir la historia a una ecuación cuadrática, resolverla y quedarte solo con la respuesta que tenga sentido real.

1. Conceptos clave

• Situación de contexto: historia real donde no te dan la ecuación hecha, tú debes crearla.
• Variable o incógnita: letra, normalmente x, que representa el número desconocido, como el ancho de un terreno.
• Ecuación cuadrática: igualdad donde la variable aparece al cuadrado. Forma general:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

con a distinto de 0.

• Solución válida: valor de x que sí tiene sentido en la historia.
• Solución descartada: valor imposible en la realidad, como tiempo o longitud negativa.
• Discriminante: es b^2 - 4ac, lo que va dentro de la raíz en la fórmula general. Te dice cuántas soluciones hay.

2. Cómo detectar un caso cuadrático

• Producto de dos números relacionados, como largo y ancho.
• Aparición de un cuadrado, como x^2 o lado de un cuadrado.
• Cálculo de área de rectángulo o cuadrado.
• Movimiento de lanzar o caer, como pelota, cohete o salto.

3. Método en 5 pasos

• Paso 1: Lee y pregunta qué me piden: lee dos veces y subraya la pregunta final. Eso será tu x.
• Paso 2: Ponle nombre a lo desconocido: si hay otra cantidad relacionada, escríbela con x. Ejemplo: si el largo es 3 más que el ancho x, largo es x + 3.
• Paso 3: Traduce a ecuación cuadrática: busca la igualdad, casi siempre un área, un producto o una altura. Ordénala a

$$ax^2 + bx + c = 0$$

• Paso 4: Resuelve la ecuación: usa factorización o la fórmula general:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

• Paso 5: Verifica y traduce de vuelta: pregunta si el valor tiene sentido real. Descarta negativos sin sentido y comprueba el válido en la historia original.

4. Ejemplo modelo

• Historia: largo es 3 m más que ancho x, área es 40. Ecuación: (x + 3) · x = 40.
• Ordenada: x^2 + 3x - 40 = 0 con a = 1, b = 3, c = -40.
• Factorizada: (x + 8) · (x - 5) = 0, soluciones x = -8 o x = 5.
• Filtro: x = -8 se descarta por longitud negativa. Respuesta válida: ancho 5 m y largo 8 m, pues 5 · 8 = 40.

5. Error típico y checklist final

• Error número uno: quedarte con las dos soluciones automáticamente. En contexto, casi siempre una se descarta.
• Checklist:
  • Traduje a forma ax^2 + bx + c = 0
  • Resolví por factorización o fórmula general
  • Descarté la solución sin sentido real
  • Comprobé la solución válida en la historia