Funciones Trigonométricas de Números Reales

Idea Central

Todo número real t es una distancia recorrida sobre la circunferencia unitaria desde (1, 0).

• Si t > 0: avanzas en contra de las manecillas del reloj.
• Si t < 0: avanzas a favor de las manecillas.
• Si |t| > 2\pi: das más de una vuelta completa.

Las funciones trigonométricas solo responden: ¿en qué (x, y) terminaste?

1. Del número real al punto P(t)

Circunferencia unitaria: centro en (0, 0) y radio 1:

$$x^{2} + y^{2} = 1$$

Radián: forma natural de medir el recorrido. t = 1 significa distancia 1 sobre radio 1, sin pasar a grados.

1. Tomas un real t.
2. Recorres |t| desde (1, 0).
3. Llegas a P(t) = (x, y).

2. Seno y coseno: las funciones principales

• cos(t) = x → posición horizontal.
• sin(t) = y → posición vertical.

$$P(t) = (\cos(t), \sin(t))$$

Identidad fundamental:

$$(\cos(t))^{2} + (\sin(t))^{2} = 1$$

3. Las otras cuatro funciones

Son divisiones de sin y cos:

$$\tan(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)}$$

$$\cot(t) = \frac{\cos(t)}{\sin(t)}$$

$$\sec(t) = \frac{1}{\cos(t)}$$

$$\csc(t) = \frac{1}{\sin(t)}$$

No puedes dividir entre 0:

• tan y sec no existen si cos(t) = 0 → t = \frac{\pi}{2} + k\pi.
• cot y csc no existen si sin(t) = 0 → t = k\pi.

4. Dominio y rango

• cos, sin: Dominio todo R, Rango [-1, 1].
• tan, cot: Dominio R menos ceros del denominador, Rango todo R.
• sec, csc: Dominio R menos ceros del denominador, Rango (-\infty, -1] \cup [1, \infty).

5. Período y simetría

• Período 2\pi:

$$\sin(t + 2\pi) = \sin(t)$$

y

$$\cos(t + 2\pi) = \cos(t)$$

• Período \pi: tan y cot se repiten antes.
• cos es par:

$$\cos(-t) = \cos(t)$$

• sin es impar:

$$\sin(-t) = -\sin(t)$$

6. Ejemplo modelo

Calcula cos(7\pi/6) y sin(7\pi/6):

• Ubica: 7\pi/6 entre \pi y 3\pi/2 → tercer cuadrante.
• Referencia: 7\pi/6 - \pi = \pi/6.
• Punto conocido: P(\pi/6) = (\sqrt{3}/2, 1/2).

• Ajusta signos: en tercer cuadrante x e y son negativos:

$$\cos(7\pi/6) = -\sqrt{3}/2$$

$$\sin(7\pi/6) = -1/2$$

Clave para recordar

• t es distancia sobre radio 1 desde (1, 0).
• cos(t) es x, sin(t) es y.
• Todo sale de P(t) y de cos² + sin² = 1.
• Son periódicas y sin y cos viven entre -1 y 1.