1. Idea en una frase

• El incentro (I) es el cruce de las 3 bisectrices interiores del triángulo ABC.
• Está a la misma distancia r de los 3 lados.
• Es el centro de la circunferencia inscrita: el círculo más grande que cabe dentro sin salirse.

2. Vocabulario mínimo

• Bisectriz interior: línea que sale de un vértice y divide su ángulo en dos partes exactamente iguales.
• Incentro (I): punto donde se cortan las bisectrices de los ángulos A, B y C.
• Perpendicular: línea que llega a otra formando 90°.
• Circunferencia inscrita: círculo dentro del triángulo que toca sus 3 lados en un solo punto cada uno.
• Inradio (r): distancia más corta desde I hasta cada lado, medida con una perpendicular.
• Semiperímetro (s): mitad del perímetro del triángulo.

3. Propiedades que te ahorran tiempo

• Siempre está dentro: nunca queda fuera del triángulo.
• Equidista de los lados: las 3 perpendiculares desde I a cada lado miden lo mismo e igual a r.
• Es centro del círculo inscrito: ese círculo es tangente a los 3 lados, o sea solo los toca en un punto sin cortarlos.
• Truco visual: imagina una plaza triangular y quieres una fuente redonda grande que toque los 3 bordes; la pones justo en el incentro.

4. Fórmula estrella

• Área, semiperímetro e inradio siempre cumplen:

$$A = s \cdot r$$

$$s = \frac{a + b + c}{2}$$

• Donde a, b y c son los lados opuestos a A, B y C.
• Despeje útil:

$$r = \frac{A}{s}$$

5. Mini-ejemplo modelo

• Triángulo rectángulo de catetos 6 cm y 8 cm:
• Hipotenusa:

$$c = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10$$

• Semiperímetro:

$$s = \frac{6 + 8 + 10}{2} = 12$$

• Área:

$$A = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24$$

• Inradio:

$$r = \frac{24}{12} = 2$$

• El incentro I está dentro, a 2 cm de cada lado y es centro del círculo de radio 2 cm.

6. Para recordar en el examen

• Incentro = cruce de bisectrices.
• Distancia a lados = r, igual para los 3.
• Centro de inscrita + fórmula A = s · r.