Circuncentro: el centro equidistante del triángulo

1. Idea central en 20 segundos

• El circuncentro (O) es el punto que está a la misma distancia de los tres vértices del triángulo.
• Si pones la punta del compás en O y lo abres hasta un vértice, el círculo pasa por los otros dos.
• Analogía: es la antena de wifi perfecta para tres casas que forman un triángulo.

2. Conceptos previos indispensables

• Vértice: cada pico del triángulo. En ABC son A, B y C.
• Punto medio: punto que divide un lado en dos partes iguales.
• Perpendicular: recta que cruza un lado formando 90°.
• Mediatriz: recta perpendicular a un lado que pasa por su punto medio. Es el lugar de los puntos que equidistan de los dos extremos del lado.
• Circunferencia circunscrita: la que pasa por los tres vértices y rodea al triángulo por fuera.
• Circunradio (R): distancia del circuncentro a cualquier vértice.

3. Definición clave

• El circuncentro O es el punto donde se cortan las tres mediatrices del triángulo.
• Propiedad fundamental:

$$OA = OB = OC = R$$

• Por eso O es el centro de la circunferencia circunscrita y R es su radio.

4. ¿Por qué las tres mediatrices concurren?

• Todos los puntos de la mediatriz de AB equidistan de A y B.
• Todos los puntos de la mediatriz de AC equidistan de A y C.
• Esas dos mediatrices se cortan en un punto O.
• En O se cumple OA = OB y OA = OC, por lo tanto OA = OB = OC.
• Como O equidista de B y C, también pertenece a la mediatriz de BC. Las tres pasan sí o sí por el mismo punto.

5. ¿Dónde queda? Depende del triángulo

• Acutángulo (todos < 90°): O está dentro del triángulo.
• Rectángulo (un ángulo = 90°): O está en el punto medio de la hipotenusa.
• Obtusángulo (un ángulo > 90°): O está fuera del triángulo.

6. Cómo dibujarlo en 3 pasos

1. Elige dos lados, por ejemplo AB y AC. Marca sus puntos medios.
2. Traza por cada punto medio la perpendicular a su lado. Son dos mediatrices.
3. Marca el cruce: ese es O. La tercera mediatriz pasará por ahí. Con centro O y radio R = OA dibuja el círculo: pasará por B y C.

7. Ejemplo modelo

• Triángulo rectángulo A(0,0), B(6,0), C(0,8) con ángulo recto en A.
• Mediatriz de AB: punto medio (3,0), como AB es horizontal la mediatriz es vertical: x = 3.
• Mediatriz de AC: punto medio (0,4), como AC es vertical la mediatriz es horizontal: y = 4.
• Cruce: O(3,4).
• Circunradio:

$$R = OA = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{25} = 5$$

• Verificación: OB = 5 y OC = 5. Además O es el punto medio de la hipotenusa BC.
• Circunferencia circunscrita:

$$(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25$$

• Fórmula general sin coordenadas:

$$R = \frac{a b c}{4S}$$

donde a, b, c son los lados y S es el área.

8. Resumen final para recordar

• O = cruce de las tres mediatrices.
• OA = OB = OC = R.
• Es centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices.
• Acutángulo: dentro; Rectángulo: medio de hipotenusa; Obtusángulo: fuera.
• Basta cruzar dos mediatrices para hallarlo.