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Resumen: Ortocentro: Resumen de estudio · Formatom
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Ortocentro: Resumen de estudio
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Ortocentro: el cruce de las 3 alturas
Definición
El ortocentro es el punto H donde se cruzan las 3 alturas de un triángulo.
Es único para cada triángulo y su posición indica qué tipo de triángulo es.
Fórmula clave:
H
=
h
a
∩
h
b
∩
h
c
H = h_a \cap h_b \cap h_c
H
=
h
a
∩
h
b
∩
h
c
Vocabulario mínimo
Vértice:
cada una de las 3 esquinas del triángulo:
A
A
A
,
B
B
B
y
C
C
C
.
Perpendicular:
que forma un ángulo de
90
∘
90^\circ
9
0
∘
, como una pared respecto al piso.
Altura:
recta que sale de un vértice y llega al lado opuesto formando
90
∘
90^\circ
.
Cómo se forma H
Paso 1:
Desde
A
A
A
, traza su altura
h
a
h_a
h
a
hasta el lado opuesto.
Paso 2:
Repite desde
B
B
B
y
C
C
C
para obtener
h
b
h_b
y
.
Dónde queda H
Acutángulo (3 ángulos menores de
90
∘
90^\circ
9
0
∘
):
H está
dentro
del triángulo.
Rectángulo (un ángulo igual a
90
∘
90^\circ
9
0
∘
):
H está
en el vértice
del ángulo recto.
Obtusángulo (un ángulo mayor de
90
∘
90^\circ
9
0
):
H está
del triángulo.
Ejemplo clave
Triángulo con
A
(
0
,
0
)
A(0,0)
A
(
0
,
0
)
,
B
(
4
,
0
)
B(4,0)
B
(
4
,
0
)
y
C
(
2
,
3
)
C(2,3)
C
(
2
,
3
)
.
Lado
A
B
AB
sobre
(horizontal), su altura desde
es vertical:
. Es
.
En resumen
H
H
H
es el cruce de las 3 alturas.
Cada altura sale de un vértice y forma
90
∘
90^\circ
9
0
∘
con el lado opuesto.
Las 3 alturas siempre se cortan en un solo punto.
Dentro si es acutángulo, en el vértice recto si es rectángulo, fuera si es obtusángulo.
Comentarios
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9
0
∘
Hay 3 alturas:
h
a
h_a
h
a
,
h
b
h_b
h
b
y
h
c
h_c
h
c
.
h
b
h
c
h_c
h
c
Paso 3:
Las 3 rectas siempre pasan por un mismo punto.
Paso 4:
Marca ese cruce. Ese punto es
H
H
H
, el ortocentro.
∘
fuera
En triángulos muy abiertos, las alturas se prolongan fuera para encontrarse.
A
B
y
=
0
y = 0
y
=
0
C
C
C
x
=
2
x = 2
x
=
2
h
c
h_c
h
c
Pendiente de
B
C
BC
B
C
:
m
B
C
=
3
−
0
2
−
4
=
3
−
2
=
−
3
2
m_{BC} = \frac{3-0}{2-4} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2}
m
B
C
=
2
−
4
3
−
0
=
−
2
3
=
−
2
3
.
Altura desde
A
A
A
perpendicular a
B
C
BC
B
C
: pendiente
m
=
2
3
m = \frac{2}{3}
m
=
3
2
, pasa por
A
(
0
,
0
)
A(0,0)
A
(
0
,
0
)
:
y
=
2
3
x
y = \frac{2}{3} x
y
=
3
2
x
. Es
h
a
h_a
h
a
.
Cruce: con
x
=
2
x = 2
x
=
2
,
y
=
2
3
⋅
2
=
4
3
y = \frac{2}{3} \cdot 2 = \frac{4}{3}
y
=
3
2
⋅
2
=
3
4
.
Resultado:
H
(
2
,
4
3
)
H\left(2, \frac{4}{3}\right)
H
(
2
,
3
4
)
, dentro porque el triángulo es acutángulo.
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