Baricentro: el centro de equilibrio del triángulo

1. Definición esencial

• El baricentro (G) es el punto donde se cortan las 3 medianas del triángulo.
• Son concurrentes: las 3 siempre se cortan en un solo punto.
• Es el centro de gravedad del triángulo.
• Siempre está dentro del triángulo, en acutángulos, rectángulos y obtusángulos.

2. Base previa: ¿qué es una mediana?

• Vértice: cada esquina del triángulo ($A$, $B$, $C$).
• Punto medio: punto que divide un lado en dos partes iguales.
• Mediana: segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
• Ejemplo: si $M$ es punto medio de $BC$, $AM$ es mediana.
• No confundir con altura: la mediana no es perpendicular, solo busca el centro del lado.

3. Propiedad estrella: razón $2:1$

• $G$ no parte la mediana a la mitad, la divide en razón de $2$ a $1.
• Tramo largo hacia el vértice, tramo corto hacia el lado.
• En la mediana $AM$:
• $AG = 2 \cdot GM$
• $$ (del vértice al baricentro, 2 tercios)

4. Cálculo con coordenadas

• Si $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$ y , el baricentro es el promedio:

5. Ejemplo modelo

• Triángulo $A(0,0)$, $B(6,0)$, $C(0,6)$:
• $x_G=\frac{0+6+0}{}$

6. Claves para memorizar

• Cruce de 3 medianas = $G$.
• Siempre interior y concurrente.
• $AG$ es el doble de $GM$.
• Coordenadas = promedio de vértices entre 3.