Teorema de Pitágoras - Resumen de estudio

1. Idea central

En un triángulo con una esquina perfectamente cuadrada, el lado más largo no mide lo que sea.

• Su cuadrado es justo la suma de los cuadrados de los otros dos lados.
• Imagen mental: escalera apoyada contra una pared. El suelo y la pared forman la esquina cuadrada, la escalera es el lado más largo e inclinado.

2. Partes del triángulo rectángulo

• Ángulo recto: esquina perfectamente cuadrada. Mide $90°$.
• Triángulo rectángulo: triángulo que tiene un ángulo recto. Solo en este triángulo vale el teorema.
• Cateto $a$: un lado que forma la esquina cuadrada.
• Cateto $b$: el otro lado que forma la esquina cuadrada.
• Hipotenusa $c$: el lado más largo e inclinado. Siempre está frente al ángulo de $90°$.

3. Lo que dice el teorema

• Fórmula principal:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

• Se lee: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
• Significado geométrico: si dibujas un cuadrado sobre cada lado, el área del cuadrado grande es igual a la suma de las áreas de los dos cuadrados pequeños.

4. Fórmulas para hallar cualquier lado

• Si buscas la hipotenusa, sumas cuadrados y sacas raíz:

$$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$

• Si buscas un cateto, restas cuadrados y sacas raíz:

$$a = \sqrt{c^2 - b^2}$$ $$b = \sqrt{c^2 - a^2}$$

5. Ejemplo modelo que debes memorizar

Triángulo rectángulo con catetos de $6$ m y $8$ m:

• Identifica: $a = 6$ m, $b = 8$ m, buscas $c$.
• Plantea sin números:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

• Reemplaza:

$$c^2 = 6^2 + 8^2$$

• Calcula cada cuadrado: $6^2 = 36$ y $8^2 = 64$, entonces

$$c^2 = 36 + 64$$

• Suma y saca raíz:

$$c^2 = 100$$

,

$$c = \sqrt{100} = 10$$

• Resultado: la hipotenusa mide $10$ m.
• Comprobación: $10^2 = 100$ y $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$. Coinciden.

6. Claves para el examen

• Solo vale para triángulos rectángulos: $a$ y $b$ son catetos y $c$ es la hipotenusa.
• Para hipotenusa se suma, para cateto se resta.
• Siempre eleva primero al cuadrado, después suma o resta.
• El error más común es sumar los lados sin elevar al cuadrado.
• No lo uses en otro tipo de triángulo.