Ecuación de la circunferencia - Resumen de estudio

1. La idea clave

• Una circunferencia es el conjunto de puntos P(x, y) que están a la misma distancia r de un centro fijo C(h, k).
• Su ecuación es esa igualdad escrita con x e y.

2. Elementos

• Centro C(h, k): punto fijo del medio. h y k son sus coordenadas.
• Radio r: distancia fija del centro al borde. Siempre positivo.
• Punto P(x, y): punto cualquiera del borde. x e y cambian.
• Ecuación: igualdad que solo cumplen los puntos del borde.

3. Forma ordinaria o centro-radio

• Condición por Pitágoras: √((x - h)² + (y - k)²) = r
• Al elevar al cuadrado para quitar la raíz:
• (x - h)² + (y - k)² = r²
• Se lee: diferencia en x al cuadrado más diferencia en y al cuadrado igual a radio al cuadrado.
• Te da al instante el centro y el radio.

4. Forma general

• Sale de desarrollar los cuadrados de la ordinaria:
• x² + y² + Dx + Ey + F = 0
• Donde:
  • D = -2h
  • E = -2k
  • F = h² + k² - r²
• Señales de que es general de verdad:
  • x² e y² llevan coeficiente 1.
  • No hay término con xy.
  • Todo está igualado a cero.

5. Cómo leer una forma general

• Para recuperar centro y radio sin adivinar:
  • h = -D / 2
  • k = -E / 2
  • r = √(h² + k² - F)
• Condición para circunferencia real: h² + k² - F > 0.

6. Ejemplo modelo

• Datos: C(3, -2) y r = 5, o sea h = 3, k = -2.
• Ordinaria: (x - 3)² + (y + 2)² = 25. Ojo: y - (-2) se vuelve y + 2.
• Desarrollo: (x - 3)² = x² - 6x + 9; (y + 2)² = y² + 4y + 4.
• General: x² + y² - 6x + 4y - 12 = 0. Aquí D = -6, E = 4, F = -12.

7. Para recordar

• Ordinaria muestra centro y radio. General sirve para operar.
• De ordinaria a general: desarrolla y ordena.
• De general a ordinaria: usa h = -D/2, k = -E/2 y la raíz para r.
• Revisa siempre los signos de h y k y que r sea positivo.