Magnitudes Directamente Proporcionales

1. Idea en una frase

• Si duplicas una, la otra también se duplica. Si la reduces a la mitad, la otra también se reduce a la mitad. Eso es la proporcionalidad directa.

2. ¿Qué son?

• Magnitud: todo lo que se puede medir o contar. Ejemplos: peso en kg, precio en S/, tiempo en horas, cantidad de cuadernos.
• Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales (A D.P. B) cuando:
  • Si A aumenta, B aumenta en la misma proporción.
  • Si A disminuye, B disminuye en la misma proporción.
  • El cociente entre sus valores correspondientes siempre da el mismo número.
• Recuerda: cociente significa resultado de dividir. Constante significa número que no cambia.
• Analogía de la panadería: si 1 pan cuesta S/ 1, entonces 2 panes cuestan S/ 2 y 5 panes cuestan S/ 5. Más panes, más pagas, siempre al mismo ritmo.

3. La regla de oro: el cociente no cambia

• Si A es D.P. B, al dividir valores que se corresponden obtienes siempre el mismo número k:

$$\frac{A}{B} = k$$

• Donde k es la constante de proporcionalidad, un número fijo que no cambia. También se escribe así:

$$A = k \cdot B$$

• Ejemplo tabla: cada cuaderno cuesta S/ 4:
  • A = cantidad de cuadernos: 2, 4, 6
  • B = precio total en soles: 8, 16, 24
  • Cociente B/A: 8/2 = 4, 16/4 = 4, 24/6 = 4
  • El cociente siempre es 4. Ese 4 es k, el precio de un cuaderno.

4. Cómo hallar un valor desconocido

• Si tienes dos pares de valores D.P., sus cocientes son iguales:

$$\frac{A_{1}}{B_{1}} = \frac{A_{2}}{B_{2}}$$

• Pasos para resolver:
  1. Identifica las dos magnitudes y llama x al valor desconocido.
  2. Confirma que son D.P. pregúntate: ¿si compro el doble de kilos, pago el doble? Si el ritmo no cambia, sí son D.P.
  3. Plantea la igualdad de cocientes con los datos conocidos y x.
  4. Resuelve multiplicando en aspa y despejando x.
• Ejemplo express: Si 3 kg de manzanas cuestan S/ 12, ¿cuánto costarán 7 kg del mismo tipo?
  • Planteo: 3/12 = 7/x
  • En aspa: 3 · x = 7 · 12 = 84
  • x = 84/3 = 28
  • Respuesta: S/ 28. El peso aumentó y el precio aumentó en la misma proporción.

5. Claves para tu examen

• Al multiplicar una por 2, 3 o cualquier número, la otra queda multiplicada por ese mismo número.
• Secreto: el cociente no cambia: A/B = k.
• Para hallar x, iguala dos cocientes: A1/B1 = A2/B2.
• Si una magnitud se duplica y la otra no sigue ese mismo cambio, entonces NO son directamente proporcionales.