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Resumen: Función Cuadrática: Resumen de Estudio · Formatom
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Función Cuadrática: Resumen de Estudio
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Función Cuadrática: Resumen de Estudio
Idea Central
Transforma cada número
x
x
x
en un nuevo número con la regla
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
f(x) = a x^2 + b x + c
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
.
Su gráfica siempre es una curva en forma de
U
llamada
parábola
.
1. Elementos de la fórmula
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
f(x) = a x^2 + b x + c
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
Condición clave:
a
≠
0
a \neq 0
a
=
0
. Si
a
a
a
fuera
0
0
0
, deja de ser cuadrática.
Término cuadrático
a
x
2
a x^2
a
x
:
el jefe, crea la forma de U.
2. ¿Hacia dónde abre? Concavidad
Si
a
>
0
a > 0
a
>
0
:
U normal, como sonrisa. El vértice es
mínimo
(punto más bajo).
Si
a
<
0
a < 0
a
<
0
:
U invertida, como carita triste. El vértice es
máximo
(punto más alto).
Concavidad
significa hacia dónde abre la U.
3. Puntos clave para graficar sin tablas eternas
Vértice
(
x
v
,
y
v
)
(x_v, y_v)
(
x
v
,
y
v
)
:
la punta de la U, punto más bajo o más alto.
x
v
=
−
b
2
a
x_v = -\frac{b}{2 a}
x
4. Ejemplo modelo:
f
(
x
)
=
x
2
−
4
x
+
3
f(x) = x^2 - 4 x + 3
f
(
x
)
=
x
2
−
4
x
+
3
Paso 1 - Identifica:
a
=
1
a = 1
a
=
1
,
b
=
−
4
b = -4
b
=
−
4
,
c
=
3
c = 3
c
=
3
.
Paso 2 - Concavidad:
a
=
1
>
0
a = 1 > 0
a
, abre hacia arriba, vértice mínimo.
En resumen para el examen
Regla
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
f(x) = a x^2 + b x + c
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
con
a
≠
0
a \neq 0
a
= parábola en U.
Comentarios
Aún no hay comentarios.
2
Término lineal
b
x
b x
b
x
:
mueve la curva a los lados.
Término independiente
c
c
c
:
dice dónde corta al eje
y
y
y
.
Ejemplo:
En
f
(
x
)
=
2
x
2
−
8
x
+
6
f(x) = 2 x^2 - 8 x + 6
f
(
x
)
=
2
x
2
−
8
x
+
6
tenemos
a
=
2
a = 2
a
=
2
,
b
=
−
8
b = -8
b
=
−
8
y
c
=
6
c = 6
c
=
6
.
v
=
−
2
a
b
y
v
=
f
(
x
v
)
y_v = f(x_v)
y
v
=
f
(
x
v
)
Eje de simetría:
línea vertical espejo que parte la parábola en dos:
x
=
−
b
2
a
x = -\frac{b}{2 a}
x
=
−
2
a
b
Intercepto con eje
y
y
y
:
donde cruza el palo vertical, cuando
x
=
0
x = 0
x
=
0
:
Siempre es
(
0
,
c
)
(0, c)
(
0
,
c
)
Ceros o raíces:
donde cruza el piso horizontal, ahí
y
=
0
y = 0
y
=
0
. Se hallan resolviendo
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
a x^2 + b x + c = 0
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
.
Discriminante, detector de cruces:
D
=
b
2
−
4
a
c
D = b^2 - 4 a c
D
=
b
2
−
4
a
c
D
>
0
D > 0
D
>
0
: corta en dos puntos distintos
D
=
0
D = 0
D
=
0
: toca en un solo punto, justo el vértice
D
<
0
D < 0
D
<
0
: no lo toca, flota por encima o por debajo
Dominio:
todos los
x
x
x
que puedes meter. Siempre
(
−
∞
,
+
∞
)
(-\infty, +\infty)
(
−
∞
,
+
∞
)
.
Rango:
todos los
y
y
y
que salen.
Si
a
>
0
a > 0
a
>
0
:
[
y
v
,
+
∞
)
[y_v, +\infty)
[
y
v
,
+
∞
)
Si
a
<
0
a < 0
a
<
0
:
(
−
∞
,
y
v
]
(-\infty, y_v]
(
−
∞
,
y
v
]
=
1
>
0
Paso 3 - Vértice:
x
v
=
−
−
4
2
⋅
1
=
2
x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2
x
v
=
−
2
⋅
1
−
4
=
2
,
y
v
=
f
(
2
)
=
−
1
y_v = f(2) = -1
y
v
=
f
(
2
)
=
−
1
. Vértice
(
2
,
−
1
)
(2, -1)
(
2
,
−
1
)
.
Paso 4 - Eje:
x
=
2
x = 2
x
=
2
.
Paso 5 - Corte
y
y
y
:
(
0
,
3
)
(0, 3)
(
0
,
3
)
.
Paso 6 - Ceros:
x
2
−
4
x
+
3
=
0
x^2 - 4 x + 3 = 0
x
2
−
4
x
+
3
=
0
→
(
x
−
1
)
⋅
(
x
−
3
)
=
0
(x - 1) \cdot (x - 3) = 0
(
x
−
1
)
⋅
(
x
−
3
)
=
0
→
(
1
,
0
)
(1, 0)
(
1
,
0
)
y
(
3
,
0
)
(3, 0)
(
3
,
0
)
. Comprueba:
D
=
16
−
12
=
4
>
0
D = 16 - 12 = 4 > 0
D
=
16
−
12
=
4
>
0
, dos cortes.
Paso 7 - Dominio y rango:
Dominio
(
−
∞
,
+
∞
)
(-\infty, +\infty)
(
−
∞
,
+
∞
)
, Rango
[
−
1
,
+
∞
)
[-1, +\infty)
[
−
1
,
+
∞
)
.
=
0
a
>
0
a > 0
a
>
0
abre arriba y vértice mínimo,
a
<
0
a < 0
a
<
0
abre abajo y vértice máximo.
Vértice y eje salen de
x
v
=
−
b
/
(
2
a
)
x_v = -b / (2 a)
x
v
=
−
b
/
(
2
a
)
, corte en
y
y
y
es
(
0
,
c
)
(0, c)
(
0
,
c
)
y cortes en
x
x
x
dependen de
D
=
b
2
−
4
a
c
D = b^2 - 4 a c
D
=
b
2
−
4
a
c
.
Con vértice, eje e interceptos graficas todo sin tabla enorme.
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