¡La idea en 2 líneas!

• Dos triángulos congruentes son como dos fotocopias: misma forma y mismo tamaño.
• Si pruebas que dos triangulitos dentro de una figura son congruentes, copias gratis todos sus lados y ángulos correspondientes.
• Piensa en moldes de galletas: si usas el mismo molde, todas salen iguales sin medir cada una.

1. Repaso mínimo para no perderse

• Congruencia: igualdad total de forma y tamaño. Al superponer uno sobre otro coinciden perfectamente.
• Correspondencia: el orden importa. En $\triangle ABC \cong \triangle DEF$, $A$ se corresponde con $D$, $B$ con $E$ y $C$ con $F$.
• Lados homólogos: los que se corresponden. Están frente a ángulos iguales. Ejemplo: $AB$ se corresponde con $DE$.
• Ángulos homólogos: los que se corresponden. Ejemplo: $\angle A$ se corresponde con $\angle D$.
• Consecuencia clave:
  • Si $\triangle ABC \cong \triangle DEF$, entonces $AB = DE$, $BC = EF$,

2. ¿Con qué la demostramos? Los 4 casos

• LLL: los tres pares de lados correspondientes son iguales. Tres lados iguales garantizan copias idénticas.
• LAL: dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. Dos lados y la esquina que los une.
• ALA: dos ángulos y el lado comprendido entre ellos. Dos esquinas y el borde que las une.
• AAL: dos ángulos y un lado no comprendido. Dos esquinas y un borde vecino.
• Ojo: no existe solo el caso $AAA$, porque misma forma no garantiza mismo tamaño.

3. Las 3 aplicaciones estrella

• 1. Hallar lados o ángulos desconocidos: si un lado está en un triángulo difícil, pero su homólogo está en otro triángulo congruente y conocido, copias el valor.
• 2. Demostrar que una línea hace algo especial: la más usada.
  • Bisectriz: divide a un ángulo en dos ángulos iguales.
  • Mediana: une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
  • Punto medio: punto que parte un segmento en dos partes iguales.
  • Altura: segmento perpendicular a un lado, o sea, que forma 90°.
  • Estrategia: pruebas que los dos triángulos que comparten ese segmento son congruentes.
• 3. Demostrar teoremas del isósceles y equilátero:
  • Isósceles: tiene dos lados iguales.
  • Equilátero: tiene tres lados iguales.
  • Casi todas sus propiedades se demuestran con una sola congruencia, como que los ángulos de la base son iguales o que la bisectriz también es mediana y altura.

4. Ejemplo modelo paso a paso

Enunciado: En el triángulo $ABC$ con $AB = AC$, se traza la bisectriz $AD$ hasta $BC$, con $D$ sobre . Demuestra que es punto medio y que es perpendicular a .

• Paso 1: Ordena datos y metas:
  • Dato: $AB = AC$ y $\angle BAD = \angle CAD$ por ser bisectriz, además $AD = AD$.

5. Resumen final para el examen

• Si pruebas congruencia con $LLL$, $LAL$, $ALA$ o $AAL$, iguala todos los lados y ángulos homólogos.
• Estrategia siempre: divide la figura en dos triángulos, prueba su congruencia y copia lo pedido.
• En isósceles con $AB = AC$, la bisectriz desde también es mediana y altura. Se demuestra con .