Inclusión: conecta un grupo pequeño con un grupo más grande que lo contiene.
Piensa en ti, tu salón y tu colegio: tú estás en tu salón por pertenencia, tu salón está en el colegio por inclusión.
1. Punto de partida: conjunto y elemento
Conjunto: colección bien definida de objetos, se escribe entre llaves. Ejemplo: A = {1, 2, 3}
Elemento: cada objeto individual del conjunto. Ejemplo: 1, 2 y 3 son elementos de A
El orden no importa y no se repiten elementos.
2. Pertenencia: el punto dentro del círculo
Es la relación entre elemento y conjunto.
x ∈ A si x está dentro de A
x ∉ A si x no está dentro de A
Ejemplo con B = {1, 2, 3}: 2 ∈ B es verdadero y 4 ∉ B es verdadero
Solo vale entre elemento y conjunto, nunca entre conjunto y conjunto.
3. Inclusión: la caja dentro de otra caja
Es la relación entre conjunto y conjunto.
A ⊂ B si todos los elementos de A también están en B
A ⊄ B si al menos un elemento de A no está en B
Definición exacta: A ⊂ B ⇔ ∀x (x ∈ A ⇒ x ∈ B)
Como cajas chinas: la pequeña entra completa en la grande.
3 propiedades clave que te preguntan siempre:
Todo conjunto está incluido en sí mismo: A ⊂ A
El vacío está incluido en todos: ∅ ⊂ A para cualquier A
Transitividad: si A ⊂ B y B ⊂ C, entonces A ⊂ C
Nota de símbolos: en preuniversitario ⊂ y ⊆ significan lo mismo, inclusión general incluso si A = B. Para remarcar que es estrictamente más pequeño se usa ⊊ y se llama subconjunto propio.
4. Diferencia de un vistazo
Pertenencia: elemento con conjunto, con ∈, ∉. Ejemplo: con M = {1, 2} se cumple 1 ∈ M y 3 ∉ M
Inclusión: conjunto con conjunto, con ⊂, ⊄. Ejemplo: con N = {1, 2, 3} se cumple M ⊂ N y N ⊄ M
5. Regla de oro: no los mezcles
Incorrecto: 1 ⊂ M, porque 1 no es un conjunto
Correcto: 1 ∈ M para el elemento y {1} ⊂ M para el conjunto de un solo elemento
Recuerda: 4 ∈ A y {4} ⊂ A dicen casi lo mismo, pero cada una usa el símbolo de su nivel
Truco para inclusión: para probar A ⊂ B revisa todos uno por uno; para romperla basta un contraejemplo, un solo elemento que esté en A pero no en B
Resumen para memorizar
Pertenencia: x ∈ A o x ∉ A, solo elemento a conjunto
Inclusión: A ⊂ B o A ⊄ B, solo conjunto a conjunto
A ⊂ B significa que todo x ∈ A cumple también x ∈ B
Un elemento solo puede pertenecer y un conjunto solo puede estar incluido
Formatom