Relaciones Métricas en un Triángulo Rectángulo

Resumen rápido para preuniversitario: en un triángulo rectángulo ningún lado mide lo que quiere, todos se controlan entre sí.

1. Las piezas del rompecabezas

Trabajamos con el triángulo $ABC$, recto en $A$:

• Hipotenusa $a$: es $BC$, el lado más largo, frente al ángulo recto.
• Catetos $b$ y $c$: son $AC$ y $AB$, forman el ángulo recto.
• Altura $h$: es $AH$, la línea más corta desde el vértice recto hasta la hipotenusa, cae a 90°.
• Proyecciones $m$ y $n$: son $BH$ y $CH$, los dos pedacitos en que $h$ corta a la hipotenusa. Son las sombras de los catetos.
• Relación base:

$$a = m + n$$

2. La idea secreta: todo es semejanza

• Semejanza = misma forma y mismos ángulos, distinto tamaño.
• Al trazar $h$ aparecen $3$ triángulos semejantes: el grande $ABC$ y los dos pequeños.
• Como son semejantes, sus lados son proporcionales. De ahí nacen todas las fórmulas.

3. Las 5 fórmulas que mandan

• 1. Teorema de Pitágoras:

$$a^{2} = b^{2} + c^{2}$$

Truco: El más largo manda.

• 2. Teorema de la altura:

$$h^{2} = m \cdot n$$

Truco: Altura con sus dos pedacitos.

• 3. Teorema del cateto:

$$b^{2} = a \cdot n$$ $$c^{2} = a \cdot m$$

Truco: Cateto con su sombra y con el todo.

• 4. Teorema del producto:

$$a \cdot h = b \cdot c$$

Truco: Base por altura, de dos maneras.

• 5. Relación de la altura inversa:

$$\frac{1}{h^{2}} = \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}$$

Truco: Los inversos de los cuadrados también cumplen Pitágoras.

4. Ejemplo modelo

Problema: En $ABC$, recto en $A$, $BH = m = 4$ y $CH = n = 9$. Calcula , , y .

• Paso 1: Hipotenusa $a$:

$$a = m + n = 4 + 9 = 13$$

• Paso 2: Altura $h$ con teorema de la altura:

$$h^{2} = m \cdot n = 4 \cdot 9 = 36$$ $$h = 6$$

• Paso 3: Catetos con teorema del cateto:

$$c^{2} = a \cdot m = 13 \cdot 4 = 52$$ $$c = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$$ $$b^{2} = a \cdot n = 13 \cdot 9 = 117$$ $$b = \sqrt{117} = 3\sqrt{13}$$

• Paso 4: Verifica con $a \cdot h = b \cdot c$:

$$13 \cdot 6 = 78$$ $$3\sqrt{13} \cdot 2\sqrt{13} = 6 \cdot 13 = 78$$

Coincide.

5. Para memorizar

• $a = m + n$
• $h^{2} = m \cdot n$
• $b^2=a\cdot n$ y