Líneas notables del triángulo: altura, mediana, mediatriz y bisectriz

Idea clave

• Todo triángulo esconde 4 líneas especiales que nacen de sus vértices o del centro de sus lados.
• Te dicen qué tan alto es, dónde se equilibra y cómo dividirlo en partes justas.
• Analogía de la carpa triangular $ABC$:
  • Altura: plomada desde el pico $A$ hasta el suelo $BC$, cae recta.
  • Mediana: cuerda desde $A$ hasta la mitad exacta de $BC$, equilibra la carpa.
  • Mediatriz: cruz perfecta en la mitad del suelo $BC$.
  • Bisectriz: láser desde $A$ que parte el ángulo en dos iguales.

1. Altura y ortocentro $H$

• Definición: segmento que sale de un vértice y llega al lado opuesto en forma perpendicular, o sea a $90^\circ$.
• Notación: $h_a$ sale de $A$, $h_b$ sale de , sale de .

2. Mediana y baricentro $G$

• Definición: segmento que sale de un vértice y llega al punto medio del lado opuesto.
• Punto medio: punto que divide un lado en dos partes iguales. Si $M$ es punto medio de $BC$, entonces $BM = CM$.
• Notación: $m_a$ llega a , llega a , llega a .

3. Mediatriz y circuncentro $O$

• Definición: recta que corta un lado en su punto medio y en forma perpendicular, o sea a $90^\circ$.
• Ojo: no tiene que pasar por ningún vértice.
• Circuncentro $O$: punto donde se cortan las 3 mediatrices. Está a la misma distancia de los 3 vértices, por eso es el centro de la circunferencia que pasa por $A$, $B$ y $C$.

4. Bisectriz e incentro $I$

• Definición: rayo interior que sale de un vértice y divide el ángulo en dos ángulos iguales. Si $A$ mide $40^\circ$, crea dos de $20^\circ$.
• Incentro $I$: punto donde se cortan las 3 bisectrices interiores. Está a la misma distancia de los 3 lados, por eso es el centro de la circunferencia que toca los lados por dentro.

Tabla para no confundirlas

Ejemplo express

• Triángulo isósceles con $AB = AC = 5$ y $BC = 6$.
• Punto medio $M$ de $BC$: .

Para recordar

• Altura cae a $90^\circ$ -> $H$.
• Mediana va al punto medio -> $G$, equilibrio con $AG = (2/3) AM$.