Ecuación de la recta - Resumen de estudio

Idea central

• La ecuación de la recta es una igualdad que describe exactamente qué puntos forman una línea recta.
• Si un punto (x, y) cumple esa igualdad, está sobre la recta. Si no la cumple, está fuera.
• Es como la ficha técnica de una rampa: te dice qué tan inclinada está y desde qué altura empieza.
• Trabajamos en el plano con eje horizontal x y eje vertical y.

La pendiente m: inclinación

• m significa inclinación. Mide cuánto sube o baja la recta cuando avanzas.
• Tipos de pendiente:
  • m positiva: la recta sube hacia la derecha.
  • m negativa: la recta baja hacia la derecha.
  • m cero: recta horizontal. No sube ni baja.
  • Recta vertical: m no existe. Es indefinida.
• Fórmula con dos puntos P1 = (x1, y1) y P2 = (x2, y2):

$$m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)$$

• Significa: cambio vertical entre cambio horizontal. Cuánto subo entre cuánto avanzo.

Las 3 formas de la ecuación

• Pendiente-intercepto: $y = mx + b$
  • Sirve para ver rápido la inclinación y el inicio.
• Punto-pendiente: $y - y_1 = m(x - x_1)$

Casos especiales para memorizar

• Recta horizontal: $y = b$
  • No depende de x.
• Recta vertical: $x = a$
  • No depende de y. Aquí a es el punto donde cruza el eje x.

Ejemplo modelo

• Problema: ecuación de la recta que pasa por P1 = (1, 2) y P2 = (3, 6).
• Paso 1 - Calcular la pendiente m:

$$m = (6 - 2)/(3 - 1) = 4/2 = 2$$

• Por cada 1 que avanzas en x, subes 2 en y.
• Paso 2 - Usar la forma punto-pendiente con P1 = (1, 2):

$$y - 2 = 2(x - 1)$$

• Paso 3 - Pasar a la forma pendiente-intercepto:

$$y - 2 = 2x - 2$$ $$y = 2x$$

• Aquí m = 2 y b = 0. La recta empieza en el origen.
• Paso 4 - Comprobar con el otro punto P2 = (3, 6):

$$6 = 2(3)$$ $$6 = 6$$

• Es correcto. Ambos puntos cumplen la ecuación.

Para memorizar

• La ecuación describe qué puntos (x, y) pertenecen a la recta.
• La pendiente es $m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)$.