Polinomios Idénticos

Idea central

Dos polinomios son idénticos si son el mismo polinomio con distinto disfraz: dan el mismo resultado para cualquier valor de x.

Analogía: dos vasos de jugo con 3 cucharadas de azúcar y 2 de limón saben igual aunque se mezclen en otro orden. Misma receta = idénticos.

Conceptos clave

• Término: cada pedazo que se suma, como $5x^2$.
• Coeficiente: el número que acompaña, como $5$.
• Variable: la letra que puede cambiar, normalmente $x$.
• Potencia: el exponente de arriba, como $2$ en $x^2$.
• Términos semejantes: tienen la misma potencia de $x$. Ejemplo: $3x^2$ y $7x^2$.
• Término independiente: el número sin $x$, corresponde a $x^0$ porque $x^0 = 1$.

¿Qué significa que sean idénticos?

Se escribe así:

$$P(x) \equiv Q(x)$$

• $\equiv$ se lee como es idéntico a.
• Con $=$, la igualdad puede valer solo para algunos $x$. Ejemplo: $x + 2 = 5$ solo vale si $x = 3$.

Regla de oro

$P(x)$ y $Q(x)$, en la misma $x$, son idénticos si y solo si tienen iguales los coeficientes de los términos semejantes.

• Coeficiente de $x^2$: $a = 5$
• Coeficiente de $x$: $b = 4$
• Coeficiente de $$ (término independiente):

Caso especial: polinomio idénticamente nulo

• Es el que siempre vale $0$:

$$P(x) \equiv 0$$

• Ocurre solo cuando todos sus coeficientes son $0$:

$$0x^2 + 0x + 0 \equiv 0$$

• Utilidad clave: si $P(x) \equiv Q(x)$, entonces $P(x) - Q(x) \equiv 0$. Por eso igualamos coeficiente con coeficiente.

Método para hallar letras desconocidas

1. Ordena y compara: solo puedes comparar lo que tiene la misma potencia de $x$.
2. Iguala los coeficientes de $x^2$ y resuelve la ecuación.
3. Iguala los coeficientes de $x$ y resuelve la ecuación.
4. Iguala los términos independientes y resuelve la ecuación.
5. Verifica reemplazando los valores hallados.

Ejemplo modelo

Halla $a$, $b$ y $c$ si:

$$(a + 1)x^2 + (b - 2)x + (c + 3) \equiv 5x^2 + 4x - 1$$

• $x^2$: $a + 1 = 5$ → $a = 4$
• $x$: →

En resumen

• Dos polinomios en $x$ son idénticos ($P(x) \equiv Q(x)$) si dan lo mismo para todo $x$.
• Son idénticos si y solo si tienen iguales los coeficientes de cada potencia de $x$.
• Un polinomio es idénticamente nulo ($$) si todos sus coeficientes son .