Inecuaciones de segundo grado

¿Para qué valores de x la parábola queda arriba o abajo de cero?

1. Conceptos clave

• Inecuación: compara con > , < , ≥ , ≤. Su respuesta no es un número solo, es un grupo de números.
• Segundo grado: la x de mayor exponente está al cuadrado. Forma ordenada: ax² + bx + c > 0, también con < , ≥ , ≤.
• Parábola: curva en forma de U de y = ax² + bx + c.
  • Si a > 0 abre hacia arriba.
  • Si a < 0 abre hacia abajo.
• Raíz o punto crítico: valor de x donde y = 0. Es la frontera que separa lo positivo de lo negativo.
• Discriminante: D = b² - 4ac. Te dice cuántas raíces hay sin resolver todo.
• Conjunto solución: todos los x que cumplen, escritos como intervalos. Con > o < se usan paréntesis (), con ≥ o ≤ se usan corchetes [].

2. Qué te dice el discriminante

• D > 0: dos raíces distintas x1 y x2. La U cruza dos veces. Hay 3 zonas.
• D = 0: una raíz doble x0. La U solo toca en un punto, no cruza.
• D < 0: ninguna raíz real. La U flota toda arriba o toda abajo según el signo de a.

3. Método en 4 pasos

1. Ordena todo a un lado: deja un cero a un lado, como ax² + bx + c > 0.
2. Encuentra las raíces: iguala a cero por un momento: ax² + bx + c = 0. Resuelve por factorización o por x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a).
3. Marca en la recta y mira la forma: ordena las raíces de menor a mayor. Quedan 3 zonas: izquierda, centro y derecha. El signo de a dice hacia dónde abre la U.
4. Prueba el signo por zona: toma un valor fácil de cada zona y reemplázalo. Quédate solo con las zonas que cumplen. Funciona porque la parábola no cambia de signo sin pasar por cero.

4. Ejemplo modelo: x² - 5x + 6 > 0

• Paso 1: Ya está ordenada con a = 1, b = -5, c = 6.
• Paso 2: x² - 5x + 6 = 0 → (x - 2)(x - 3) = 0 → x1 = 2, x2 = 3.
• Paso 3: Marcas 2 y 3. Como a > 0 abre hacia arriba: abajo en el centro, arriba en los extremos.
• Paso 4: Pruebas:
  • x = 0 → 6 > 0: positiva, sirve.
  • x = 2.5 → -0.25 < 0: negativa, no sirve.
  • x = 4 → 2 > 0: positiva, sirve.
• Solución: (-∞, 2) ∪ (3, +∞). Si fuera ≥ sería (-∞, 2] ∪ [3, +∞).

5. Casos especiales

• D = 0: x² - 4x + 4 > 0, raíz doble x0 = 2, abre arriba → (-∞, 2) ∪ (2, +∞).
• D < 0 y a > 0: x² + x + 1 > 0 → toda arriba → (-∞, +∞).
• D < 0 y a > 0 pero pides < 0: x² + x + 1 < 0 → nunca abajo → ∅.

6. Para recordar

• Siempre ordena, halla raíces con D = b² - 4ac y úsalas como fronteras.
• El signo de a define qué zonas son positivas.
• Estricto > o < : paréntesis. No estricto ≥ o ≤ : corchetes.