Sistemas de Ecuaciones Lineales con Tres Variables

1. Idea central

• Buscas un trío ordenado (x, y, z) que cumpla 3 ecuaciones a la vez.
• Cada ecuación tiene la forma

$$ax + by + cz = d$$

.

• Lineal significa sin potencias ni mezclas como x^2 o xy.
• Si ningún trío cumple todo a la vez, el sistema no tiene solución.

2. Vocabulario clave

• Variable: letra que representa un número desconocido. Aquí son x, y, z.
• Coeficiente: número que multiplica a la variable. En 2x es 2.
• Término independiente: número solo, sin letra. En x + y + z = 6 es 6.
• Sistema 3x3: 3 ecuaciones juntas que deben cumplirse al mismo tiempo.
• Solución: trío (x0, y0, z0) que hace verdaderas las 3 ecuaciones.
• Truco para recordar: piensa en 3 tickets de compra para pan p, leche m y queso q. Ningún ticket solo revela los precios, solo los 3 juntos permiten hallar p, m y q.

3. Forma general del sistema 3x3

$$\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \end{cases}$$

• a, b, c son coeficientes y d es el término independiente de cada ecuación.

4. Qué significa geométricamente

• Cada ecuación

$$ax + by + cz = d$$

representa un plano en el espacio.

• Un plano es una superficie plana e infinita, como una hoja gigante.
• Resolver es encontrar dónde se cruzan los 3 planos.
• Casos posibles:
  • Compatible determinado: se cortan en un solo punto → 1 solución.
  • Compatible indeterminado: se cortan en una recta o son el mismo plano → infinitas soluciones.
  • Incompatible: no tienen ningún punto en común → 0 soluciones.
  • Compatible = sí hay solución. Incompatible = no hay solución.

5. Método de eliminación en 6 pasos

1. Elige la variable más fácil de eliminar. Busca coeficientes iguales u opuestos.
2. Combina ecuación 1 con ecuación 2 para eliminar esa variable. Obtienes la ecuación 4 con solo 2 variables.
3. Combina ecuación 2 con ecuación 3 para eliminar la misma variable. Obtienes la ecuación 5 con 2 variables.
4. Resuelve el sistema 2x2 formado por 4 y 5. Así hallas 2 variables.
5. Sustituye esos 2 valores en una ecuación original sencilla para hallar la tercera variable.
6. Verifica reemplazando x, y, z en las 3 originales. Las 3 deben cumplirse.

6. Ejemplo modelo memorizable

• Sistema:
  • (1) x + y + z = 6
  • (2) 2x - y + z = 3
  • (3) x + 2y - z = 2
• Elimina z porque tiene 1, 1 y -1, se cancela sumando:
  • (1)+(3): 2x + 3y = 8 → ecuación 4
  • (2)+(3): 3x + y = 5 → ecuación 5
• Resuelve el 2x2: de 5, y = 5 - 3x. Sustituye en 4: 2x + 3(5 - 3x) = 8 → 2x + 15 - 9x = 8 → -7x = -7 → x = 1, luego y = 2.
• Halla z en (1): 1 + 2 + z = 6 → z = 3.
• Verifica: 1+2+3=6, 2-2+3=3, 1+4-3=2. Solución: (1, 2, 3).

7. Errores típicos que te quitan puntos

• Eliminar una variable distinta en cada paso. Debes eliminar siempre la misma.
• Equivocarte de signo al restar ecuaciones. Si restas, cambia todos los signos de la ecuación restada.
• No verificar al final. Siempre comprueba en las 3 originales.

En resumen

• Un 3x3 busca (x, y, z) que cumpla 3 ecuaciones ax + by + cz = d a la vez.
• Geométricamente son 3 planos: 1 punto = 1 solución, recta o plano común = infinitas, sin punto común = 0.
• El método es eliminar la misma variable dos veces para bajar a 2x2, resolver, sustituir y verificar.