En números reales, la ecuación x^2 = -1 no tiene solución.
Todo real al cuadrado es positivo o cero: 2^2 = 4 y (-2)^2 = 4.
Solución: crear un número nuevo.
Unidad imaginaria i: se define por la regla i^2 = -1. Es la raíz de -1.
Analogía del mapa: los reales son una avenida este-oeste. Los complejos agregan avenida norte-sur. Tienes una ciudad completa. Este-oeste es lo real. Norte-sur es lo imaginario.
2. Qué es un número complejo
Forma binómica: z = a + b i
Parte real: a, es un número real.
Parte imaginaria: b, también real. Ojo: es solo b, sin la i.
Tanto a como b son reales.
Ejemplos clave:
3 + 2 i → a = 3, b = 2
5 - 4 i → a = 5, b = -4
6 i → a = 0, b = 6
7 → a = 7, b = 0
Todo real es también complejo con b = 0.
3. El plano complejo
Plano complejo: mapa donde dibujamos los complejos.
Eje real: recta horizontal, mide a.
Eje imaginario: recta vertical, mide b.
Cada z = a + b i es el punto (a, b).
Ejemplo: z = 2 + 3 i está en a = 2, b = 3. Dos pasos al este y tres al norte.
4. Operaciones esenciales
Suma y resta: junta reales con reales e imaginarios con imaginarios. La i es como una etiqueta, como la x en álgebra.
Si z1 = a + b i y z2 = c + d i, entonces z1 + z2 = (a + c) + (b + d) i
Multiplicación: aplica distributiva y usa i^2 = -1.
(a + b i)(c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i
Conjugado: reflejo frente al espejo horizontal. Cambia el signo de b.
Si z = a + b i, su conjugado es a - b i
Módulo: distancia del punto al origen. Siempre positivo. Es Pitágoras en el mapa.
Formatom