Sistema de ecuaciones - Resumen de estudio

1. Idea central

• Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que deben cumplirse a la vez.
• Cada ecuación es una igualdad con letras.
• Cada incógnita es una letra de valor desconocido que queremos descubrir.
• La solución del sistema son los valores que hacen verdaderas a todas las ecuaciones al mismo tiempo.

2. De una ecuación a dos ecuaciones

• Una sola ecuación lineal con dos incógnitas, como $2x + y = 7$, tiene infinitas soluciones.
• Todos esos puntos forman una línea recta en el plano.
• Con dos ecuaciones con las mismas incógnitas buscamos el punto que está en las dos rectas a la vez: el cruce.
• Ejemplo guía:
  • $2x + y = 7$
  • $x - y = -1$

3. Tipos de sistema según el cruce de rectas

• Compatible determinado: las condiciones sí se pueden cumplir y de una sola forma.
  • Tiene una sola solución.
  • Las rectas se cortan en un punto.
• Compatible indeterminado: las dos condiciones dicen lo mismo.
  • Tiene infinitas soluciones.
  • Son la misma recta.
• Incompatible: las condiciones se contradicen.
  • No tiene ninguna solución.
  • Son rectas paralelas que nunca se cortan.
• Clave: compatible = sí tiene solución, incompatible = no tiene solución.

4. Métodos de resolución

• Sustitución: despejas una letra en una ecuación y la metes en la otra. Pasas de dos letras a una sola.
• Igualación: despejas la misma letra en las dos ecuaciones y las igualas.
• Reducción: sumas o restas las ecuaciones para eliminar una letra. Es el más rápido cuando una letra aparece con números opuestos, como $y$ y $-y$.

5. Ejemplo modelo por reducción

• Sistema: $2x + y = 7$ y $x - y = -1$
• Paso 1: Suma para eliminar $y$: da .

6. Lo esencial para recordar

• Resolver un sistema 2x2 es buscar el cruce de dos rectas.
• Puede tener una, infinitas o ninguna solución: determinado, indeterminado o incompatible.
• Elige sustitución, igualación o reducción según cuál elimine más rápido una incógnita.
• Siempre verifica tu respuesta en todas las ecuaciones originales.