Ecuaciones de Segundo Grado

Resumen rápido para preuniversitario

1. ¿Qué es exactamente?

• Una ecuación es una igualdad con un valor desconocido llamado incógnita, normalmente x.
• El grado es el exponente más grande de x. Si es 2, es de segundo grado.
• Resolverla es encontrar los valores de x que cumplen la igualdad. Cada valor se llama raíz.

2. Forma estándar

• Toda ecuación de segundo grado se puede ordenar como:
• ax² + bx + c = 0, con a ≠ 0
• Si a = 0, ya no hay x² y deja de ser de segundo grado.
• Partes:
  • ax²: término cuadrático, es lo que crea la curva y define el grado
  • bx: término lineal, inclina o desplaza las soluciones
  • c: término independiente, es el número solo sin x

3. Idea visual: la parábola

• La expresión y = ax² + bx + c dibuja una curva llamada parábola, como la trayectoria de una pelota lanzada al aire.
• Resolver ax² + bx + c = 0 es preguntar dónde esa curva está a altura y = 0, o sea, donde toca el suelo.
• Por eso hay tres posibilidades:
  • toca en 2 puntos: 2 soluciones distintas
  • toca en 1 punto: 1 solución doble
  • nunca toca: ninguna solución real

4. Tipos: de lo simple a lo complejo

• Incompletas, faltan partes y son más fáciles:
  • Sin c: ax² + bx = 0 → saca x como factor común. Ejemplo: x² + 3x = 0 → x(x + 3) = 0
  • Sin b: ax² + c = 0 → despeja x² y saca raíz. Ejemplo: x² - 9 = 0 → x² = 9
• Completas, tienen las tres partes con b ≠ 0 y c ≠ 0:
  • Se resuelven con la fórmula general, que siempre funciona.

5. Discriminante: tu aviso previo

• Se calcula antes de la fórmula para saber cuántas raíces reales habrá:
• D = b² - 4ac, también escrito como Δ
• Discriminar significa separar los casos:
  • D > 0: dos raíces reales distintas, corta al suelo en dos puntos
  • D = 0: una raíz doble, toca al suelo en un solo punto
  • D < 0: ninguna solución real, nunca toca al suelo

6. Fórmula general

• Si D ≥ 0, aplica:
• x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
• El símbolo ± significa hacer dos cuentas: una con + para x1 y otra con - para x2.

7. Ejemplo modelo: x² - 5x + 6 = 0

• Paso 1 - Identifica: a = 1, b = -5, c = 6
• Paso 2 - Discriminante: D = (-5)² - 416 = 25 - 24 = 1 → como D > 0, hay 2 soluciones
• Paso 3 - Fórmula: x = (5 ± √1) / 2 = (5 ± 1) / 2
• Paso 4 - Separa: x1 = (5 + 1)/2 = 3, x2 = (5 - 1)/2 = 2
• Paso 5 - Comprueba: 3² - 53 + 6 = 0 y 2² - 52 + 6 = 0

8. Claves para recordar

• Siempre ordena primero a la forma ax² + bx + c = 0 con a ≠ 0.
• Calcula D = b² - 4ac para saber si esperas 2, 1 o 0 soluciones.
• Usa x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a solo si D ≥ 0.
• No olvides separar x1 y x2 y comprobar sustituyendo en la ecuación.