Resumen: Razones Trigonométricas en un Triángulo Rectángulo

1. El escenario: el triángulo rectángulo

• Tiene 3 lados y un ángulo recto de 90°, como la esquina de un cuaderno.
• Hipotenusa (H): el lado más largo, frente al ángulo recto. Nunca cambia de nombre.
• Catetos: los 2 lados que forman el ángulo recto.
• Si miras un ángulo agudo θ, los catetos se nombran así:
  • Cateto Opuesto (CO): está enfrente de θ, no lo toca.
  • Cateto Adyacente (CA): está junto a θ, sí lo toca, pero no es la hipotenusa.
• Idea visual: escalera apoyada en la pared. La escalera es H, la altura en la pared es CO y la distancia en el suelo es CA.

2. ¿Qué es una razón trigonométrica?

• Una razón es una división entre dos números, una comparación de cuánto cabe uno dentro del otro.
• Una razón trigonométrica es la división entre dos lados del triángulo rectángulo.
• Su valor depende solo del ángulo agudo θ, no del tamaño del triángulo.
• Sirven para calcular alturas y distancias sin medirlas directamente.
• Hay 6 razones, 3 principales y 3 inversas:
  • Seno: sin(θ) = CO / H
  • Coseno: cos(θ) = CA / H
  • Tangente: tan(θ) = CO / CA
  • Cotangente: cot(θ) = CA / CO
  • Secante: sec(θ) = H / CA
  • Cosecante: csc(θ) = H / CO

3. Truco para recordarlas: SOH-CAH-TOA

• SOH: Sin es O sobre H.
• CAH: Cos es A sobre H.
• TOA: Tan es O sobre A.
• Donde O es opuesto, A es adyacente y H es hipotenusa.

4. Ejemplo resuelto: triángulo 3-4-5

• Datos para el ángulo θ: CO = 3, CA = 4, H = 5.
• Paso 1: Dibuja y etiqueta. H = 5 por ser el número más grande, CO = 3 por estar frente a θ, CA = 4 por estar junto a θ.
• Paso 2: Elige la fórmula. sin(θ) = CO / H, cos(θ) = CA / H, tan(θ) = CO / CA.
• Paso 3: Reemplaza.
  • sin(θ) = 3/5
  • cos(θ) = 4/5
  • tan(θ) = 3/4
• Paso 4: Interpreta.
  • No tienen unidades, son comparaciones.
  • El opuesto es 3/5 de la hipotenusa, el adyacente es 4/5 de la hipotenusa, el opuesto es 3/4 del adyacente.
  • Inversas volteando la fracción: csc(θ) = 5/3, sec(θ) = 5/4, cot(θ) = 4/3.
  • Si fuera el doble de grande, 6, 8 y 10, da lo mismo porque 6/10 = 3/5. Prueba que depende del ángulo, no del tamaño.

5. Conceptos clave

• H es el lado más largo; CO es frente a θ y CA es junto a θ.
• sin(θ) = CO / H, cos(θ) = CA / H y tan(θ) = CO / CA.
• csc, sec y cot son las inversas: se obtienen volteando la fracción.
• Con una razón y un dato más puedes hallar lados o ángulos desconocidos del triángulo rectángulo.