Aproximación por defecto y por exceso

1. La idea en 2 líneas

• Aproximar es reemplazar un número con muchos decimales por otro más corto y fácil de usar.
• Si el valor corto queda por debajo del real → por defecto. Si queda por encima → por exceso.

2. ¿Por qué aproximamos?

• Muchos números, sobre todo los irracionales como $\sqrt{2} = 1.414213...$, tienen infinitos decimales no periódicos.
• No se pueden escribir completos, así que se recortan a un orden de aproximación o precisión:
  • Décima: $n=1$, $10^{-1} = 0.1$
  • Centésima: $n=2$,

3. Definiciones clave

• Aproximación por defecto $a_{d}$: número recortado menor o igual que el real: $a_{d} \le x$. Se obtiene por truncamiento (cortar sin cambiar la última cifra).
• Aproximación por exceso $$: número recortado que el real: . Se obtiene sumando a la de defecto.

4. Ejemplo modelo

Halla la aproximación de $x = \sqrt{2} = 1.414213...$ a la centésima.

1. Orden: centésima → 2 decimales, $0.01$.
2. Por defecto (truncar): $a_{d} = 1.41$.
3. Por exceso (sumar $0.01$): $a_{e} = 1.41 + 0.01 = 1.42$.

• Otro caso: $x = 3.14159...$ a la centésima → $3.14 \le 3.14159... \le 3.15$.

5. Claves para recordar

• Por defecto = por debajo o igual: se trunca.
• Por exceso = por encima o igual: se suma $10^{-n}$.
• El orden manda: $n=1$ décima, $n=2$ centésima, $n=$ milésima.