Aumentos y descuentos porcentuales

1. Punto de partida

• Un aumento hace que un valor suba.
• Un descuento hace que un valor baje.
• El cambio se calcula siempre sobre el valor que tienes al inicio.
• Piensa el precio como una barra completa de 100%:
  • Con aumento, le agregas pedacitos a la barra.
  • Con descuento, le quitas pedacitos a la barra.
• Ejemplo: zapatillas de 120 soles que suben por demanda o bajan por liquidación.

2. Aumento porcentual

• Es una subida medida en partes de 100.
• Valor inicial V0: donde empiezas, precio antes del cambio.
• Valor final Vf: donde terminas, precio después del cambio.
• Tasa r: número antes del símbolo % como en 20%.
• Fórmula larga:

$$V_{f} = V_{0} + V_{0} \times \dfrac{r}{100}$$

• Fórmula corta agrupando V0:

$$V_{f} = V_{0} \times \left(1 + \dfrac{r}{100}\right)$$

• Factor de aumento: 1 + r/100. Siempre es mayor que 1. Multiplicas directo.

3. Descuento porcentual

• Es una bajada medida en partes de 100.
• Fórmula larga:

$$V_{f} = V_{0} - V_{0} \times \dfrac{r}{100}$$

• Fórmula corta:

$$V_{f} = V_{0} \times \left(1 - \dfrac{r}{100}\right)$$

• Factor de descuento: 1 - r/100. Siempre es menor que 1. Multiplicas directo.

4. Todo en una tabla con 200 soles

• Aumento de 20%: llegas a 120%, factor 1,20. 200 x 1,20 = 240 soles.
• Descuento de 20%: bajas a 80%, factor 0,80. 200 x 0,80 = 160 soles.
• Aumento de 10%: llegas a 110%, factor 1,10. 200 x 1,10 = 220 soles.

5. Lo más importante: cambios sucesivos no se suman

• Cambios sucesivos son dos o más aumentos o descuentos en cadena.
• No puedes sumar las tasas. Debes multiplicar los factores.
• Si aplicas tasa r1 y luego r2, con + para aumento y - para descuento:

$$V_{f} = V_{0} \times \left(1 \pm \dfrac{r_{1}}{100}\right) \times \left(1 \pm \dfrac{r_{2}}{100}\right)$$

• ¿Por qué se multiplican? Porque el segundo cambio se calcula sobre el nuevo precio, no sobre el primero.

6. Ejemplo modelo paso a paso

• Mochila de 150 soles. Primero aumenta 20% por demanda. Después descuenta 20% por liquidación.
• Paso 1: V0 = 150 soles, r1 = 20 con aumento.
• Paso 2: factor 1,20. V1 = 150 x 1,20 = 180 soles. Es el precio inflado.
• Paso 3: usa 180 y no 150, porque el descuento va sobre lo que vale ahora. Factor 0,80. Vf = 180 x 0,80 = 144 soles.
• Paso 4: de 150 a 144. Subir y bajar el mismo r% no devuelve al inicio, deja más abajo. En general:

$$V_{f} = V_{0} \times \left(1 - \left(\dfrac{r}{100}\right)^{2}\right)$$

que siempre es menor que V0.

7. Claves para recordar

• Aumento de r% multiplica por 1 + r/100, mayor que 1.
• Descuento de r% multiplica por 1 - r/100, menor que 1.
• En cadena, multiplica los factores uno por uno, nunca sumes las tasas.
• El segundo cambio siempre se calcula sobre el valor ya cambiado, no sobre el inicial.