Mediatriz de un Segmento

1. Analogía para verla

• Imagina dos casas en un campo, una en $A$ y otra en $B$.
• Quieres poner una cerca recta que sea justa para ambas.
• Si te acercas a $A$, te alejas de $B$.
• El único lugar justo es la línea del medio.
• Esa cerca recta y centrada es la mediatriz.

2. ¿Qué es exactamente?

• Segmento: trozo recto entre dos puntos. Aquí es $AB$, el trozo entre $A$ y $B$.
• Punto medio: punto justo del centro del segmento. Lo llamamos $M$. Cumple $MA = MB$ y está sobre .

Definición corta: la mediatriz de $AB$ es la recta $l$ perpendicular a $AB$ por $M$.

3. La propiedad clave

• Un punto $P$ está en $l$ si y solo si está a igual distancia de $A$ y de $B$:

• $PA = PB$

Por eso $l$ es el lugar geométrico de los puntos $P$ con $PA = PB$.

4. Cómo encontrarla paso a paso

Supón que $A$ y $B$ tienen coordenadas conocidas en el plano de ejes $x$ y $y$.

1. Halla $M$: es el promedio de coordenadas. Si $A = (xA,yA)$ y $B = (xB,yB)$, entonces

• Con regla y compás también se traza con dos arcos iguales desde $A$ y desde $B$ que se cruzan en dos puntos de $l$.

5. Ejemplo resuelto paso a paso

Busquemos la mediatriz de $AB$ con $A = (0,0)$ y $B = (4,2)$.

• Paso 1: punto medio: $l$ debe pasar por el centro. $M = ((0 + 4)/2, (0 + 2)/2) = (2,1)$

En resumen

• La mediatriz de $AB$ es la recta $l$ perpendicular a $AB$ que pasa por su punto medio $M$.
• $P$ está en $l$ si y solo si . Es el lugar geométrico de la equidistancia.