Teorema del trabajo y la energía

1. Idea central

• El trabajo que hacen las fuerzas sobre un objeto le cambia la rapidez.
• Ese cambio de rapidez se mide con la energía cinética.
• Teorema: el trabajo neto es igual al cambio de energía cinética.
• Lo potente: no importan los detalles del camino ni el tiempo, solo el trabajo total y las dos velocidades.
• Analogía: empujas un carrito de supermercado hacia adelante → trabajo positivo → acelera y gana energía cinética. Si lo frenan por delante → trabajo negativo → se lentifica y pierde energía cinética.

2. Conceptos clave

• Trabajo (W): energía que una fuerza da o quita mientras mueve al objeto. Si no hay movimiento, no hay trabajo. Se mide en julios (J).
• Energía cinética (K): energía que tiene un objeto por moverse. Más masa o más velocidad = más energía. Se mide en julios (J).
• Trabajo neto (W_neto): suma de los trabajos de todas las fuerzas. Lo que empuja a favor suma, lo que frena resta.
• Masa (m): indica qué tan difícil es cambiar la velocidad. Se mide en kg.
• Velocidad (v): indica qué tan rápido va. Para la energía importa su valor. Se mide en m/s.

3. Fórmulas que debes saber

• Energía cinética:

$$K = \frac{1}{2} m v^{2}$$

• Si la velocidad se duplica, la energía se hace cuatro veces más grande, porque depende de v al cuadrado.
• Cambio de energía, final menos inicial:

$$\Delta K = K_{f} - K_{i}$$

• Teorema del trabajo y la energía:

$$W_{neto} = K_{f} - K_{i}$$

• Versión completa con masa y velocidades:

$$W_{neto} = \frac{1}{2} m v_{f}^{2} - \frac{1}{2} m v_{i}^{2}$$

• Donde W_neto es el trabajo total, v_i es la velocidad inicial y v_f es la velocidad final.

4. Cómo leer el resultado

• Si W_neto > 0: entra más energía de la que sale → el objeto acelera → K_f > K_i.
• Si W_neto = 0: no hay cambio neto de energía → mantiene su rapidez → K_f = K_i.
• Si W_neto < 0: sale más energía de la que entra → el objeto frena → K_f < K_i.
• Mira solo el signo para saber si acelera, mantiene o frena.

5. Ejemplo modelo

• Situación: bloque de m = 4 kg con v_i = 3 m/s. Lo empujas a favor con F_neta = 6 N a lo largo de d = 4 m. ¿v_f?
• Paso 1: Calcula el trabajo neto. Fuerza y movimiento van en la misma dirección:

$$W_{neto} = F_{neta} * d$$ $$W_{neto} = 6 N * 4 m = 24 J$$

• Es positivo, así que ya sabes que va a acelerar.
• Paso 2: Calcula la energía cinética inicial:

$$K_{i} = \frac{1}{2} m v_{i}^{2}$$ $$K_{i} = \frac{1}{2} * 4 kg * (3 m/s)^{2} = 18 J$$

• Paso 3: Aplica el teorema para hallar K_f:

$$W_{neto} = K_{f} - K_{i}$$ $$24 J = K_{f} - 18 J$$ $$K_{f} = 42 J$$

• Paso 4: Convierte K_f en velocidad:

$$K_{f} = \frac{1}{2} m v_{f}^{2}$$ $$v_{f} = \sqrt{\frac{2 K_{f}}{m}}$$ $$v_{f} = \sqrt{\frac{2 * 42 J}{4 kg}} = \sqrt{21} m/s \approx 4,6 m/s$$

• Pasó de 3 m/s a 4,6 m/s. Tiene sentido porque el trabajo fue positivo.

6. Resumen rápido para memorizar

• W_neto = K_f - K_i, con K = (1/2) m v^{2}.
• W_neto se mide en J y es la suma de todos los trabajos.
• W_neto > 0 acelera, W_neto = 0 mantiene rapidez, W_neto < 0 frena.
• Solo necesitas el trabajo total, m, v_i y v_f.