Probabilidad Condicional: Achica el Mundo y Calcula

1. Idea central

• Mide qué tan probable es algo cuando ya sabes que otra cosa pasó.
• Es como aplicar un filtro: tu mundo se hace más pequeño.
• Solo calculas dentro de ese mundo nuevo.

2. Notación: P(A|B)

• Se lee: probabilidad de A dado B.
• A: lo que quieres saber.
• B: lo que ya sabes que pasó (la condición).
• |: significa dado que, sabiendo que, si.
• La condición B siempre achica el espacio muestral.

3. Fórmulas clave

• Fórmula formal:

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

• Donde:
  • A ∩ B: que pasan A y B a la vez.
  • P(B) > 0: la condición sí debe ser posible.
• Fórmula práctica con conteos:

$$P(A|B) = \frac{favorables dentro del filtro}{total del filtro}$$

• Es la misma idea de casos favorables entre posibles, pero solo dentro del filtro.

4. Cómo usarla paso a paso

1. Identifica B: lo que va después de dado que, sabiendo que, si.
2. Identifica A: lo que te preguntan.
3. Reduce: quédate solo con los casos donde pasa B. Ese es tu nuevo espacio muestral y será el denominador.
4. Cuenta: de esos, cuenta en cuántos también pasa A. Ese será el numerador.
5. Divide.

• Ojo: el orden importa. P(A|B) no es lo mismo que P(B|A).

5. Ejemplo modelo

• Salón de 40 estudiantes: 20 mujeres y 20 hombres. Usan lentes: 6 mujeres y 4 hombres.
• Pregunta: si es mujer, ¿cuál es la probabilidad de que use lentes? Es P(usa lentes | es mujer).
• Reduce el mundo a B: solo 20 mujeres.
• Cuenta favorables dentro del filtro: 6 usan lentes.
• Divide: 6 / 20 = 3 / 10 = 0.3 = 30%.
• Con fórmula grande da igual: (6/40) / (20/40) = 6/20 = 0.3, porque el 40 se cancela.

6. ¿Y si no cambia nada?

• Si P(A|B) = P(A), A y B son independientes: una no afecta a la otra.
• Si el valor cambia, son dependientes: una sí afecta a la otra.
• Regla de multiplicación para dos cosas seguidas:

$$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$$

7. Para recordar

• P(A|B) se calcula solo dentro del mundo donde ya pasó B.
• B va después de dado que y siempre es el denominador / filtro.
• Piensa: achico el mundo y divido.
• El orden nunca se puede cambiar.