Dominio de una función real

1. ¿Qué es el dominio?

• Es el conjunto de todos los valores x que sí puedes usar en f(x) sin romper la matemática y obteniendo un número real.
• Piensa en f como una máquina de jugos: entra x y sale f(x). El dominio es la canasta de frutas que la máquina sí acepta.
• Se escribe Dom(f).
• Definición formal: $Dom(f) = \{ x \in \mathbb{R} \mid f(x) \text{ existe en } \mathbb{R} \}$

2. Las 3 operaciones prohibidas

• Es más fácil buscar a los no invitados: los x que provocan operaciones prohibidas en reales.
• Si f(x) no tiene ninguna de estas operaciones, como los polinomios, no se rompe nunca.
• Ejemplo: si $f(x) = x^{2} + 3x - 5$, entonces $Dom(f) = (-\infty, +\infty)$.

3. Método para hallar el dominio

• Paso 1: Detecta divisiones, raíces pares y logaritmos en f(x).
• Paso 2: Impon sus condiciones: divisor distinto de 0, interior de raíz par mayor o igual a 0, interior de logaritmo mayor a 0.
• Paso 3: Junta todas las condiciones con intersección y escribe el resultado como intervalo o unión de intervalos.
• Recuerda intervalos: [ significa que el extremo sí entra, ( significa que no entra.

4. Ejemplo modelo

• Función: $f(x) = \frac{\sqrt{x-2}}{x-5}$

5. Resumen para recordar

• Dom(f) es el conjunto de x reales que puedes usar sin romper la operación.
• Busca división, raíz par y logaritmo.
• Aplica: divisor $\neq 0$, interior de raíz par $\ge 0$, interior de log $> 0$.
• La respuesta final es la intersección de todas esas condiciones.